电动力学讲稿(第0章2011年修改)

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1、第第00章章预备知识预备知识——场论复习场论复习PreliminaryKnowledgePreliminaryKnowledge——ReviseintheFieldTheory第0章预备知识——场论复习讲课学时40-1标量场的梯度算符0-2矢量场的散度高斯定理0-3矢量场的旋度斯托克斯定理0-4在正交曲线坐标系中算符运算的表达式0-5算符运算规则格林定理教学内容和目的本章主要复习矢量场的知识。说明：理解矢量场的散度和旋度，标量场的梯度等基本概念，正确地使用算符作矢量分析运算。本本章章主主要要内内容容ââ标量场的梯度算符ââ矢量场的散度高斯定理ââ矢量场的旋度斯托克斯定理ââ在正交曲线

2、坐标系中算符运算的表达式ââ算符运算规则格林定理本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即Gausstheorem和Stokestheorem，以及二阶微分运算和算符运算的重要公式。§0-10-1标量场的梯度，标量场的梯度，∇算符算符GradientofScalarField,GradientofScalarField,OperatorOperator∇0-1.标量场的梯度∇算符（哈密顿算符）场的概念场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一

3、点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。方向导数标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。lΔlP′ΦP∂Φ例如：标量场Φ在P点沿l方向上的方向导数∂l定义为P∂ΦΦ(P′)−Φ(P)=lim∂lΔl→0ΔlP梯度标量场中某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场Φ的梯度可表示为�∂Φ�∂Φ�∂Φ

4、gradΦ=e+e+exyz∂x∂y∂z式中grad是英文字母gradient的缩写。若引入算符∇(哈密顿算符)，它在直角坐标系中可表示为�∂�∂�∂∇=ex+ey+ez∂x∂y∂z则梯度可表示为gradΦ=∇Φ§§0-20-2矢量场的散度矢量场的散度高斯定理高斯定理DivergenceofVectorField,DivergenceofVectorField,GaussGauss’’sTheoremsTheorem0-2.矢量场的散度高斯定理通量��矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量Ψ表示，即��Ψ=∫∫A⋅dSS通量可为正、或为负、或为零。当矢

5、量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。�由物理得知，真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数ε0之比，即，��q∫∫E⋅dS=Sε0可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。散度

6、�当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的�通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即��∫∫A⋅dSdivA=limSΔV→0ΔV式中div是英文字母divergence的缩写，∆V为闭合面S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。直角坐标系中散度可表示为∂A∂A∂AxyzdivA=++∂x∂y∂z因此散度可用算符∇表示为��divA=∇⋅A高斯定理���∫∫∫∇⋅AdV=∫∫A⋅dSVS从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V

7、的闭合面S上的场之间的关系。因此，如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。§0-30-3矢量场的旋度矢量场的旋度斯托克斯定理斯托克斯定理RotationofVectorField,RotationofVectorField,StokeStoke’’sTheoremsTheorem0-3.矢量场的旋度斯托克斯定理环量��矢量场A沿一条有向曲线l的线积分称为矢量场A沿该曲线的环量，以Γ表示，即��Γ=∫A⋅dll可见，若在闭合有向曲线