电动力学讲稿(第0章2010年修改).ppt

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1、第0章预备知识—场论复习PreliminaryKnowledge—ReviseintheFieldTheory第0章预备知识——场论复习讲课学时40-1标量场的梯度算符0-2矢量场的散度高斯定理0-3矢量场的旋度斯托克斯定理0-4在正交曲线坐标系中运算的表达式0-5二阶微分算符格林定理教学内容和目的本章主要复习矢量场的知识。说明：理解矢量场的散度和旋度，标量场的梯度等基本概念，正确地使用算符作矢量分析运算。本章主要内容标量场的梯度算符矢量场的散度高斯定理矢量场的旋度斯托克斯定理在正交曲线坐标系中运算的表达式二阶微分算符格林定理本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要

2、概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即Gausstheorem和Stokestheorem，以及二阶微分运算和算符运算的重要公式。§0-1标量场的梯度，算符GradientofScalarField,Operator方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。例如：标量场在P点沿l方向上的方向导数定义为Pl0-1.标量场的梯度算符梯度:标量场中某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场的梯度可表示为式中grad是英文字母g

3、radient的缩写。若引入算符，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为§0-2矢量场的散度高斯定理DivergenceofVectorField,Gauss’sTheorem通量：矢量沿某一有向曲面S的面积分称为矢量通过该有向曲面S的通量，以标量表示，即0-2.矢量场的散度高斯定理通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。由物理得知，真空中的电场强度通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q

4、与真空介电常数0之比，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场在该点的散度，以divA表示，即式中div是英文字母divergence的缩写，V为闭合面S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。直角坐标系

5、中散度可表示为因此散度可用算符表示为高斯定理从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。因此，如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。§0-3矢量场的旋度斯托克斯定理RotationofVectorField,Stoke’sTheorem环量：矢量场沿一条有向曲线l的线积分称为矢量场沿该曲线的环量，以表示，即0-3.矢量场的旋度斯托克斯定理可见，若在闭合有向曲线l上，矢量场A的方向处处与线元dl的方向保持一致，则环量>0；若处处相反，则<0。可

6、见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。由物理学得知，真空中磁感应强度沿任一闭合有向曲线l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率0的乘积。即式中电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。旋度：旋度是一个矢量。若以符号rotA表示矢量的旋度，则其方向是使矢量具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中rot是英文字母rotation的缩写，en为最大环量强度的方向上的单位矢量，S为闭合曲线l包围

7、的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。直角坐标系中旋度可用矩阵表示为或用算符表示为应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。斯托克斯定理从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域S中的场和包围区域S的闭合曲线l上