电动力学讲稿(第三章修改)new

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1、第三章第三章第三章第三章静磁场静磁场静磁场静磁场Staticmagneticfield稳恒电流激发静磁场，在稳恒电流的条件下，导体内及其周围空间中，也存在静电场，此时的电场与电流的关系为��j=σE式中σ为电导率。但是，静电场和静磁场之间并无直接的关系。本章所要研究的与静电问题类似，静磁问题中最基本的问题是：在给定电流分布（或给定外场）和介质分布的情况下，如何求解空间中的磁场分布。本本章章主主要要内内容容ââââ稳恒电流分布的必要条件ââ稳恒电流体系的电场ââ矢势及其微分方程ââ磁标势磁多极矩§§3.13.1

2、稳恒电流分布的必要条件稳恒电流分布的必要条件EssentialconditionofsteadyEssentialconditionofsteadycurrentprofilecurrentprofile电荷在导体内稳恒流动，导体内部将会不断地产生焦耳热，即电磁能将不断地损耗。根据能量守恒方程��∂w�j⋅E=−−∇⋅S∂t由于稳恒条件要求∂w=0∂t���且有j⋅E=−∇⋅S当存在外来电动力场时，则���j=σ(E+E)外����j�故j⋅Edτ=j⋅(−E)dτ∫∫外σVV1��2=jdτ−j⋅Edτ∫∫

3、外σVV��12��j⋅Edτ=jdτ+S⋅ds故有∫外∫∫∫σVVS该式的物理意义是：外来电动力场所作的功等于体系内焦耳热损耗和从体系的界面流出去的能量的总和。因此，体系要保持电荷稳恒流动的必要条件是必须要有外来的电动力（即外来电动势）。*§§3.23.2稳恒电流体系的电场稳恒电流体系的电场ElectricfieldofsteadycurrentsystemElectricfieldofsteadycurrentsystem�根据Maxwell'sequation,稳恒电流j及其电场所满足的方程为：�⎧⎪∇

4、⋅D=ρ⎨�(1)⎪⎩∇×E=0���⎧⎪j=σ(E+E外)⎨�(2)⎪⎩∇⋅j=0在导体内流有电荷的情况下，我们并不知道其电荷分布ρ的情况，所以无法从（1）式求场，只有从（2）式出发：���∇⋅j=∇⋅[σ(E+E外)]=0��即∇⋅(σE)=−∇⋅(σE)外��因为∇×E=0，所以用标势，即E=−∇ϕ，于是有�∇⋅(σ∇ϕ)=∇⋅(σE)(3)外�由此可见，假若E外给定，即可由（3）式求出电势ϕ。�在E外=0区域，（3）式变为∇⋅(σ∇ϕ)=0(4)相应的边值关系为：���⎧nˆ⋅(j−j)=021⎪��

5、⎨�jj21⎪nˆ×(−)=0⎩σ2σ1用ϕ表示交界面上的关系，即⎧∂ϕ∂ϕ21σ=σ⎪21⎨∂nS∂nS(5)⎪ϕ=ϕ⎩2S1S（4）、（5）式就是分区均匀的稳恒电流体系的电场所满足的方程和边值关系。若整个体系的边界条件已知，即可求出电流的电场。�从∇⋅D=ρ出发，可求得导体内的电荷分布：�⎡ε�⎤ρ=∇⋅(εE)=∇⋅⎢j⎥⎢⎣σ⎥⎦ε��ε=∇⋅j+j⋅∇()σσ�ε=j⋅∇()σ�其中，稳恒电流条件要求：∇⋅j=0�ερ=j⋅∇()从σ可看出，均匀导电体系内不会出现电荷堆积，只有当导体在沿着电荷流动方

6、向不均匀时，才有可能有电荷存在。因此，对于分块均匀的导电体，电荷只可能分布在交界面上，即���σ=nˆ⋅(D−D)f21�ε�ε�21=nˆ⋅(j−j)21σσ21���nˆ⋅(j−j)=0利用21，得到面电荷密度为εε��21σ=(−)nˆ⋅jfσσ21所以，如果交界面两侧各自的介电常数与电导率之比值相等，则交界面上也不存在面电荷密度。*§§3.33.3矢势及其微分方程矢势及其微分方程VectorpotentialanddifferentialVectorpotentialanddifferentialeq

7、uationequation1、矢势稳恒电流磁场的基本方程是�⎧⎪∇⋅B=0⎨��⎪⎩∇×H=j由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋的，即引入标势ϕ来描述。而磁场是有旋的，一般不能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它。�即若∇⋅B=0��则B=∇×A�A称为磁场的矢势。��根据B=∇×A，可得到������∫∫B⋅dS=∫∫(∇×A)⋅dS=∫A⋅dlssL�由此可看到矢势A的物理意义是：�矢势A沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。必

8、须注意：���①只有A的环量才有物理意义，而在每点上的A(x)值没有直接的物理意义。����②矢势A可确定磁场B，但由B并不能唯一地确定A，这是因为对任意函数ψ,有��∇×(A+∇ψ)=∇×A����即A+∇ψ和A对应于同一个B，A的这种任意性是由于的环量才有物理意义的决定的。2、矢势微分方程���由于�∇�⋅B=0，引入B=∇×A，在均匀线性介质��内有B=µH，将这些代入到∇×H=j中，即��B