几类反应扩散方程解的熄灭

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中图分类号：０１７５．２９单位代号：１０３０４南通大學学位论文（学术型）几类反应扩散方程解的媳灭申请人姓名：张海星学号：１３０２０００４指导教师：陈玉娟教授申请学位级别：学术型硕±学科代码：０７０１０４学科名称：应用数学论文研究方向：偏微分方程论文完成日期２０１６年０４月１３日 南巧大学学位论文原创性汚明本人郑Ｓ声明：巧呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研巧工作所巧巧的成果，尽我巧巧，除文中已经注巧引用的内容外，本学位论文的研巧成果不包含任何巧他个人或集体车有著作权的内容。对本论文巧涉及的研究工，作巧出重要巧献的其他个人和集体，均己在论文中Ｗ明确的方式标明本声明的法律培果由本人承担．学化论文作者巧名：化度签名曰期：学位论文使用授权巧明南通大学、中国学术巧刊Ｃ光盘巧）电子杂志社、中田科学技术信息研巧巧的（中国学位论文全文巧据库》有权保留本人巧送交学化论文的复印件和电子文档，可Ｗ巧用巧印、巧印或其他复制手段保存论文．并巧过网络向社会巧供信息巧务。除在巧密期内的保密论文外．允许论文巧査巧和借肉，可Ｕｉ公布（包括刊）论文的全郁或部分内容，论文的公布登（包括刊登）巧权巧通大学研巧生院办理。本学位论文風于；巧密［□在Ｄ年解密后，适应本》枚书／不保宙皆学位论文作巧签名：导师疮名：您度户哀如签名曰期：签名曰期：少＾。＊ｉ．４＾义 南通大学硕±学位论文几类反应扩散方程解的總灭Ｅｘｔ－ｕａｔｉｏｎｓｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒｓｏｍｅｋｉｎｄｓｏｆｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑ院（系、所）：理学院申请学位：理学硕±学位学科专业：应用数学研究生姓名：张海星学号：１３０２０００４指导教师：陈玉娟教授－论文完成日期：二〇六年四月十Ｈ曰基金资助：南通大学研究生科技创新计划项目（ＹＫＣ１４０４１） 目录摘要ｉＡｂｓｔｒａｃｔｉｉｉ第一章绪论１－１．１些记号、概念及辅助引理１１．２研究背景４第二章含有梯度和非局部源的快扩散方程解的媳灭１０２．１问题简介１０２．２解的整体存在性１２２．３解的媳灭１６第Ｈ章含有梯度和吸收项的超扩散方程解的媳灭２１３．１问题简介２１３．２解的媳灭２２参考文献２６作者在攻读硕±学位期间公开发表的论文及参加的项目３１致谢３２ｉ 南通大学硕±学位论文几类反应扩散方程解的媳灭研究生：张海星学科专业：应用数学指导教师：陈玉娟教授摘要一反应扩散方程是很重要的种抛物方程，来源于生活中的很多扩散现象．同时它与很多领域０日渗流理论、生物化学及生物群体动力学等有着密切的联系，）很多年来这类方程吸引着国内外众多学者的研究，并取得了相应的研究成果，关于方程解的定性性质，如方程解的整体存在性、解在有限时刻媳灭、爆破等是人一们研究的热点之．本文主要研究反应扩散方程解的媳灭性质．１９７４年自Ｗ来，偏微分方程解的媳灭问题就引起学者的广泛关注，他们利用上下解方法、能量方法和试验函数的．方法研究了大量方程解的媳灭性质这些方程都具有明思的实际背景，自然界中，在生物进化、物质燃烧等过程中，在诸如死亡速率较快、物质对热量的吸收较强等因素的作用下，进化或燃烧过程可能将无法延续下去，也就是说在某个时刻生物将灭绝，燃烧将停止，这种现象在数学意义上，我们就说用来模拟这些扩散运动的模型的解在有限时间媳灭．一本论文共有Ｈ章，第章详细介绍了所需的概念、不等式和问题的研究背景等．二章，简单分析了Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ和Ｎｅｕｍａｎｎ边值条件对方程解的性质的影响第ｍｇ一＝ＶＭ研究了含有梯度和非局部源的快扩散方程ＡＭ＋Ａ＋ａＭＷ：ｒ在个｜｜／ｕｗ有界域Ｃ吸ｉＶ＞２内解的整体存在和媳灭，其中０＜ｍ＜＞０．（）我们通过考虑逼近问题证明了解的存在性，利用能量方法证明了方程的解在有限时间媳灭．更确切地说，如果ｍ＜Ｐ＜１＋ｍｍ＜＜且初值足够小，那么方程的，ｇ＾＝＜弱解在有限时间媳灭．同样，如果ｍｇ＜ｐ＜ｌ＋ｍ，且Ａａ足够小，，ｇ，那么对于任何初值，方程的弱解在有限时间媳灭．？９第Ｈ章研究了含有梯度和吸收项的超扩散方程叫＝ＡｍＡＶｍ－ａｍＰ＋｜｜／。ｒ加＜Ｃ吸ｗＡ一，其中ｍ＜＞０＞２是个具有光滑边界的有，：ｐ（）界域．同样利用能量方法得到解媳灭的条件，和第二章不同的是吸收项处理问题，这里需要用到逆Ｈｏｌｄｅｒ不等式，并得到当＜＜＜１＋ｍ，且初值足＾ｇ＾，：ｐｉ 南通大学硕±学位论文．够小时，方程的弱解在有限时间媳灭．关键词：反应扩散方程，快扩散，超扩散，整体存在性，媳灭，能量方法ｉｉ 南通大学硕±学位论文Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒｓｏｍｅｋｉｎｄｓｏｆｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｓｔｒａｔｅ－ｘｉｎＰｇｄｕａ：ＺｈａｎｇＨａｉｇＳｐｅｃｉａｌｉｚａｔｉｏｎ：ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ－ＤｉｒｅｃｔｅｄｂｙＰｒｏｆ．ＣｈｅｎＹｕｎａｎｊＡｂｓｔｒａｃｔＤｉｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓａｓａｎｉｍｏｒｔａｎｔｃｌａｓｓｏｆａｒａｂｏｌｉｃｅｕａｔｉｏｎｓｃｏｍｅｆｔ：ｏｍ，ｐｐｑ，ａｖａｒｉｅｔｙｏｆｄｉｆｆｕｓｉｏｎｈｅｎｏｍｅｎａａｅａｒｅｄｗｉｄｅｌｉｎｎａｔｕｒｅ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅｐｐｐｙ，ｉｔｉｓｃｌｏｓｅｌｙｌｉｎｋｅｄｔｏｍａｎｆｉｅｌｄｓｓｕｃｈａｓｆｉｌｔｒａｔｉｏｎｂｉｏｃｈｅｍｉｓｔｒａｎｄｄｎａｍｉｃｓｙ（，ｙｙｏｆｂｉｏｌｏｇｉｃａｌｒｏｕｓ．Ｉｎｔｈｅｓｅｅａｒｓｔｈｅｓｔｕｄｉｎｔｈｉｓｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｔｔｒａｃｔｓｌａｒｅｇｐｙ，ｇ）ｙｎｕｍｂｅｒｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓｂｏｔｈｉｎＣｈｉｎａａｎｄａｂｒｏａｄ．Ｒｅｍａｒｋａｂｌｅｒｏｒｅｓｓｈａｓｐｇｂｅｅｎａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｔｈｅｒｏｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｅｕａｔｉｏｎｓｓｕｃｈａｓｐｐｑ，ｔｈｅｇｌｏｂａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｉｎｆｉｉｄｔｅｔｉｍｅｂｌｏｗ－ｕｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅ，，ｐｈｏｔｓｐｏｔｉｓｓｕｅｓ．Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｗｉｌｌｉｌｓｔｕｄｔｈｅｅｘｔｉｉｏｎｒｏｅｒｔｉｅｓｏｆｈｉｄｉ？ｍａｎｙｎｃｔｔｅｒｅａｃｔｏｎｆｆｕｙｐｐｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＴｈｅｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆＰＤＥｈａｓｃａｕｓｅｄｗｉｄｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｃｈｏｌａｒｓｓｉｎｃｅ１９７４．Ｕｐｐｅｒａｎｄｌｏｗｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｅｎｅｒｍｅｔｈｏｄａｎｄ，ｇｙｔｅｓｔｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｈａｖｅｂｅｅｎｕｓｅｄｔｏｓｔｕｄｔｈｅｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｒｏｅｒｔｏｆａｍｏｕｎｔｓｙｐｐｙｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｍａｎｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃａｌｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ．Ｉｎｎａｔｕｒｅｉｎｙ，ｔｈｅｒｏｃｅｓｓｏｆｂｉｏｌｏｉｃａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｂｕｒｎｉｎｏｆｍａｔｅｒｉａｌｉｆｔｈｅｄｅａｔｈｒａｔｅｉｓｐｇｇ，ｆａｓｔｏｒｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌａｂｓｏｒｂｓｈｅａｔｓｔｒｏｎｌｔｈｅｎｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｒｂｕｒｎｉｎｒｏｃｅｓｓ，ｇｙ，ｇｐｐｒｏｂａｂｌｙｄｏｅｓｎｏｔｃｏｎｔｉｎｕｅｔｈａｔｉｓｔｏｓａｔｈｅｓｅｃｉｅｓｅｘｔｉｎｃｔｓｏｒｃｏｍｂｕｓｔｉｏｎ，ｙ，ｐｍａｙｓｔｏａｔｓｏｍｅｔｉｍｅ．Ｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｈｅｎｏｍｅｎｏｎｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｓｃａｌｌｅｄｔｈａｔｐｐｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｅｄｉｆｕｓｉｏｎｍｏｔｉｏｎｍｏｄｅｌｓｅｘｔｉｎｃｔｉｎｆｉｉｄｔｅｔｉｍｅ．Ｔｈｈｈａ？ｅｒｅａｒｅｔｒｅｅｃｐｔｅｒｓｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ．Ｆｉｒｓｔｓｏｍｅｒｅｌａｔｅｄｃｏｎｃｅｔｓｉｎ，ｐ，ｅｒｏｕｎｄｏｆｔｈｅｓｔｕｄｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ－ｑｕａｌｉｔｉｅｓａｎｄｔｈｅｂａｃｋｇｙ．ＮｅｕｍａｎｎａｎｄＤｉｒｉｃｈｌｅｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｃｏｎｄ化ｉｏｎｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄｆｏｒｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ－ｓ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒａｆａｓｔｄｉｆｕｓｉｏｎｅｕａｔｉｏｎｗ化ｈｒａｄｉｅｎｔａｎｄｎｏｎｌｏｃａｌ：ｑｇ－＝－＾ｓｏｕｒｃｅＵ＋ＡＶｕａｉｎａｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎ。Ｃ＞２ｗ化ｈｔ＋｜ｊ）ｉｉｉ 南通大学硕±学位论文ｓｍｏｏｔｈｂｏｕｎｄａｒｙ（９ｆ２ｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｗｈｅｒｅ０＜ｍ＜Ａ＞０ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ，，ｏｆｔｈｅｔｈｅｌｏｂａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｃｏｎｄ化ｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎｆｉｉｄｔｅｇｉｌｗｅ？ｔｍｅａｒｅｅｓｔａｂｉｓｈｅｄ．Ｂｙｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎａｒｏｘｉｍａｔｅｄｒｏｂｌｅｍｓｒｏｖｅｔｈｅｅｘｉｓｇｐｐｐ，ｐｔｅｎｃｅｂｕｓｉｎｅｎｅｒｍｅｔｈｏｄｗｅｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｅｕａｔｉｏｎｖａｎｉｓｈｅｓ，ｙｇｇｙ，ｐｑｉｎｆｉｉｄｔｅｔｉｍｅ．Ｍｏｒｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ：ｉｆｍ＜ｐ＜１＋ｍ，ｍ＜ｇ＜ｆｏｒｓｕｆｉｃｉｅｎｔｌｙｓｍａｌｌｉｉｄｔｉａｌｄａｔａｔｈｅｓｏ二＜＜１＜ｌｕｔｉｏｎｖａｎｉｓｈｅｓｉｎｆｉｎｉｔｅｔｉｍｅ，ｉｆｍｇｐ＋ｍｆｏｒｇ，，，ａｎｉｉｄｔｉａｌｄａｔａｗｈｅｎＡａａｒｅｓｕｆｉｃｉｅｎｔｌｓｍａｌｌｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎｖａｎｉｓｈｅｓｉｎｙ，，ｙ，ｆｉｉｄｔｅｔｉｍｅ．Ｉｎｔｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｐｔｅｒａｓｕｅｒｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｒａｄｉｅｎｔａｎｄａｂｓｏｒｔｉｏｎ，ｐｑｇｐ＾如－－－＾＾ｔｅｒｍｓＵ＝ＡｕＶ—ｄｘｉｂｄｉＴＶ＞２ｗｉｈｊ＋ＡｕａｕｉｉａｏｕｎｄｅｄｏｍａｎＣ腺ｔｌｊ＾（）Ｊ＾ｈｂｏｕｎｄａ＾２ｉｉｄｄｗｈｅ—ｓｍｏｏｔｒ１乂＞０＜０．Ｗｅａｌｙ（９ｓｃｏｎｓｅｒｅｒｅｍ＜ａｓｏ，，ｇ，，，ｇｕｓｅｔｈｅｅｎｅｒｇｙｍｅｔｈｏｄｔｏｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｅｕａｔｉｏｎｖａｎｉｓｈｅｓｉｎｆｉｎｉｔｅｐｑｔｉｍｅ．Ｈｅｒｅｔｈｅａｂｓｏｒｂｉｎｇｉｔｅｍｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｒｏｍｔｈｏｓｅｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｔｅｒａｎｄｐ，ｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅＨｏｌｄｅｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｓｕｓｅｄ．Ｗｅｏｂｔａｉ打ｉｆ＜ｇ＜＜１＋ｍ，ｆｏｒｓｕｆｉｃｉｅｎｔｌｓｍａｌｌｉｉｄｔｉａｌｄａｔａｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｖａｎｉｓｈｅｓｉｎｆｉｉｄｔｅｔｉｍｅ．ｙ，Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｆａｓｔｄｉｆｆｕｓｉｏｎ，ｓｕｐｅｒｄｉｆｆｕｓｉｏｎ，ｇｌｏｂａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｅｎｅｒｍｅｔｈｏｄ．，，ｇｙｉｖ 第一章绪论偏微分方程是Ｗ建立数学模型进行理论分析和解释客观现象进而解决实际一．１８世纪问题为内容的口数学专业课程，为了解决实际物理问题，如弦振动问题、万有引力问题、流体力学问题等，产生了偏微分方程，特别是Ｅｕｌｅｒ建立了流体力学中无黏性可压缩和不可压缩流体的著名的Ｅｕｌｅｒ方程．从１９世纪中期开始，一一个重要的工具．些现偏微分方程成为发展其它数学分支的在自然界中，虽然一象所对应的模型在定程度上可Ｗ近似视为线性的，但是从本质上来讲还是非线性的．随着科学技术的发展，为了适应学科的研究需要，非线性偏微分方程吸引一一直很受关了众多数学研究者．作为类极其重要的偏微分方程，反应扩散方程注，反应扩散方程用来描述扩散现象中物质密度的变化，比如在群体遗传学中等．这类方程在生态、化学等领域有着非常广泛的应用位基因在群体中的扩散，从而使众多数学研究者对反应扩散方程解的爆破、媳灭性质的研究产生了浓厚的兴祗本论文主要研究两类反应扩散方程初边值问题解的媳灭性质一，第类方程为？９Ｐ＝ＡＶｍｔｅＴ快扩散方程叫Ａｍ＋＋ａ／ｗｃ，若存在常数＞０，使得该初边值｜｜ｕ＂＝０１问题的解＂佔。在＜：＾＜：７时非平凡，但对所有的；＾＞Ｔ，有＂０，贝佔。］＝称在有限时间媳灭．二，这时Ｔ称为媳灭时间第类方程为超扩散方程？＂９。－加＝Ａｍ＋ＡＶｍａ＂，此时由于Ｍ０时，无意义，需要给出新的媳灭｜｜／。的定义，若存在常数Ｔ＞０，使得该初边值问题的解扣枯在０＜ｔ＜Ｔ时非平，。＝ｌＴ凡，且ｉｍＭｔ０，但ｔ＞时解不存在，则称该初边值问题的解在有限时林，）ｔ＾Ｔ间媳灭．１－．１些记号、概念及辅助引理一一．些记号和预定一Ｗ些记号．及我们先给出本文中出现的设０为中的有界域，文中出现的▽为＂＂二￣二二梯度，走义力７＾Ａ力Ｌａｌａｃｅ算子，走义力／＼＾Ｓ风抑（，黨：）：ｐ黨＾薦＾成？；▽？／二。Ｘ二二０．，记化巧，巧。Ｘ化巧，｝另外，由于描述物质的浓度、密度及生态种群的数量等都是非负的，所本文考虑的问题的初值和解都是非负的．１ 南通大学硕±学位论文二．基本概念定义１．１．１．对于ｌ＜ｐ＜＋ｏｏ记，＾＝ｕｅＵＤｕＧＵ＼ｎａｅＺａ＜ｍ｛＼ｎ）＼ｙ，｜｜｝，）ｌ其中公表示Ｍ的ａ阶弱导数．对于定义范数。＝＝＝。１．１ｍ＂’Ｐ。ｍｍｗ化。｜｜｜，（）ＩＭ｜（）ＩＭＩＩＭＩｐ陪击，’乙（Ｉａ＜ｍ＼｜｜／口ｍ二＂二＂二＂加１＜＜ＯＯｏｏｎｉ＞ｐ｜｜｜｜ｐ｜｜｜｜ｐ｜｜｜｜｜｜，，，，，（巧）ｍｐ’ｋ乂范数ｎ为上的ｍ阶况）Ｚ．ｗ赋？〇ｅｖ空间（）片＾称ｍ２？ｍＡｍ２＝’巧’；Ｌｌ．ｌ．当２记ｗｎ为巧．注时，即ｗｆｉＰ，（）诉）诉）（）°Ｐ＝０’＝护当ｍ时Ｗｎ．，（）诉），。？Ｐ．１Ｗ’ｎｎ定义．１．２．中的闲包意义巧诉，或Ｃ在范数？＾ｎ）在（）７（）｜｜｜｜，ｐ，下的完备化空间，记作即ｍＰｍ’’Ｐ＝－〇ＷｎＭＧＷｎ存在Ｃ使得ｍ一一〇〇．ＭｆｃＧ〇（）｛（）ｎＷ：ＩＫ｜Ｕ加作）｝｜１．如定义．１．３．对于０＜〇〇Ｇ护义ｐ＜，定的范数，／的的／的ＩＩ心（巧下：１＝二：ｐ：ｒ．ｌｌ／ｌｌｐＩＩ／ＩＵ（。）乂１／的阿）．对于＝ｏｏｒ是定义在上的实可测函数定义。＞如下：ｐ，／〇），｜｜｜｜（；巧＝＝＝°°ｅｓｓｓｕ．／。〇〇〇〇〇〇ｎｐ／；ｒＩＩＩＵ（）ＩＩ／｜｜，１１／｜｜，，｜（）Ｉ令ｗ左＝２在上可测且＜０〇．ｎ〇〇〇诉）｛／的｜／（〇｜｜／｜｜｝，左口一Ｂ我们知道当１＜＜０Ｃ时ａｎａｃｈ／Ｓｉ．Ｐ，是个＾（巧…是１－示抵但并．１．２．＜１ｍ？扣注在第王章中，ｍ时我们也用ｊ表，｜｜｜｜（／。）不表示通常的范数．２ 南通大学硕±学位论文Ｈ、辅助引理引理１．１．ＨＳｌｄｅｒ不等式）假设ｎ为具有光滑边界的区撕且＞ｌ＞（：Ｐ，ｇ１９．１－－＝１若Ｇ左Ｇ左＋尔是互为共扼指数Ｇ护，则，，０／：ｐ，ｇ乂／诉），９诉）ｇ诉）Ｐｑ且有ｘｘｄｘ＜．ｆｇｆ＼ｐ＼＼ｇ＼＼ｇ［＼｛）｛）＼＼＼＼Ｊｎ＇■１不等式二－引理．２？逆Ｈｏｌｄｅｒ假设０＜１０ｕＧ（）ｐ＜，片：ｐ／（ｐ４＜，口左闲）并且＇＾０＜／ｕｘｄｘ＜ｏｃ，＼｛）＼Ｊｎ则有１１＊＾ｕ：ｒ／：ｉ：ｒ＞ｙｄ．ｚｒ（ｉｘｘ／｜（）（）｜＼｛）＼＾引理１．３？（带５的Ｙｏｕｎｇ不等式）设ａ＞０：６＞０：５＞０，ｐ＞ｌ，ｇ＞１且痛足——二１巧Ｉ，＾ｐｑＥＯｐｓｑ口ｂ＜—－—＜云护ａ＋如＋．ｐｑＩ１■，口二引理．４？ｏｂｏｌｅｖ不等式设ｕＧＷ。Ｃ打，则存在，使得巧），ｑ（）巧的＜ＣＺ＞ｕ＜７２ＩＭＩｏ｜｜｜｜〇斬Ｐ，，＾吉Ｓ＾ＸｐＨ＜（７麦Ｚ＞ｕ＞７２．｜呵｜｜｜｜〇趴ｐ－－不等式＜送个不聲式也叫ＧａｌｉａｒｄｏＮｉｒｅｎｂｅｒＳｏｂｏｌｅｖ．如果１＜ｎｇｇｐ，那么＊称二為的斯共扼指标．Ｐ背Ｐ＾１。是一以引理．５．散度定理）设个具有光滑边界说７的有界域，并设表（〇ｉ一示５。的单位外法向．对Ｃ巧ｎｃｉ７中的任向量场Ｗ我们有（）（），ｄｄｘ＝？ｄ／ｉｖｗ／Ｗｕｓ，ＪｎＪｄｎｉｓ—１其中维面积元素．（表示９。中的７２（）３ 南通大学硕±学位论文一１一＾．６．Ｇｒｅｅｒｚ公式。是个具有光清边界的有界域引理第，是两个（）＾２兩数且＾＾；£＾７７２為。的单位，，外法向，有，（巧ｆｆｄｕｆｖＡｕｄｘ二ｖ－——？ｖｄｘｄｓ／ＶｔｘＷ．ＪｎＪｄｎｄｎＪｑ１．２研究背景反应扩散方程被及的大量问题来自物理学、生物学和化学中众多的数学模型，因此有很强的实际背景，这些被及到扩散现象的自然规律都可用Ｗ下形式的方程来描述：＇＇＝ＶＦＶｕｔｔ．Ｕｔｕｘ＋Ｇ｛ｕｘ；ｒＧｎＸ＋〇〇１２｛，，，，，，；）；）（。化）（）ｗｗ吸＝吸其中Ｃ或表示物质所占的空间，ｔ通常表示物质在点ｒ处（））〇，。的浓度，Ｆ描述了扩散现象，Ｇ描述的是扩散过程中伴随的反应．１．２在初边值条件适当的情况下，很多学者对方程（解的性质产生了极大的）兴趣，并进行了大量的研究，特别是由吸收项、扩散项、边界项、对流项及由它．们之间的各种藉合关系产生的问题解的性质引起了很多学者的关注例如，Ｗ下方程＝ＡｔＥｆ）．Ｕｍ＋ＧｕｘｌＸ０ｃ〇１ｔ｛），｛，）（，），（巧＝．这类方程是线性扩散的，当Ｇｕ０时，方程３是经典的热传导方程，此时，（）。）方程的柯西问题或者Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题的解整体存在，但当源项＞０时，由．于非线性累积的结果，即使初值充分光滑，方程ａ巧的解在有限时刻也可能趋＝ｌｉ向无穷大，即存在而＜＋〇〇使得ｍ＋〇〇，我们称这种现象为解在有限ＩＭＵ．１９时刻爆破自从世纪中期解的爆破概念被提出后，许多学者对此性质进行了大－量研究（叫闽．宇宙中的黑涧现象就是爆破解描述的自然现象．）一另方面，当Ｇｍ＜０时，由比较原理可知，方程１．有限时（）（巧的解不会在一些与热方程完全不同的情形．刻爆破，它出现了１９７４年，Ｋａｌａｓｈｎｉｋｏｖ巧研究４ 南通大学硕±学位论文了如下Ｃａｕｃｈｙ问题：。ＮＵ二／＼ｕ—ＸｕＸ色Ｒ＞０ｔ；，１．４（）■ｕ二Ｎ：ｒ０策Ｘ尽Ｒ（：）％（）：，｛一０＜＜１＝ｌ＿Ｔ－＜在ｇ时，作者将解与它的个经典解Ａ［（ｇ）［比较一〇〇作，得到结论Ｉ．４，：问题的解在某有限时间后消失即存在某个时（）＾一间Ｔ＞０使得对所有的；＾＞：７都有＾３；＝０，这现象称为解在有限时间，。媳灭．自媳灭的概念被提出后，许多学者对此产生了兴趣Ｕ６Ｈ２１．由于非线性扩］）一散项、吸收项、边界项的存在，它们对媳灭现象的发生都会起定的促进或阻碍．作用，希望能刻画出这些非线性项之间的相互作用，揭示临界指标下面简单介一绍些方程媳灭现象发生的条件．１９７９年，Ｄｉａｚ和Ｄｉａｚ１３研究了如下不带吸收项的齐次Ｄｉｒｋｈｌｅｔ边值问题［］＇Ｕ二么ＦｕＸＧｔ＞０ｔ（），化：＜０二Ｘ台Ｑ１．５（）），二０Ｇ２０Ｘ（９ｆｔ＞：，，、ＦＦ＝．其中ｍ为非负非减函数，且〇０这类问题来自于渗流问题等自然现（）（）象．通过试验函数的方法得到问题１．条件为存在Ｅ＞０，Ｆｓ满（巧解媳灭的充要（）£＇＂足＜〇〇，这ｉ兑嘛陕速風副Ｔ散项能促使司题解自勺焰决．这个结ｉ仑具有重／。＾Ｉ？＝要的实际意义，例如，如果Ｆｓｓ，那么当０＜ｍ＜１时，问题１．解在（）（巧的一有限时间媳灭，这时候问题ａ．巧中的第个式子称为快速扩散方程．在温度的扩散中也经常提出此类方程，由于物质或者能量突然快速释放，可能导致某个区域内的物质或者能量全都消失，而在ｍ＞１时，问题属于慢扩散情形，媳灭的情一形般不会发生．对于具有源的问题，方程解的媳灭现象发生的条件变得较为复杂，因为源的一＂＂存在定会阻碍媳灭现象的发生，源项和扩散项会出现竞争的情况，正因为这种竞争，解的性质会发生改变．如果我们把方程ａ．２中的Ｇ看成是扩散过程）＂＂＂中的源，那么当Ｇ＞０时为热源，当Ｇ＜０时为冷源把这个放在自然现＂＂＂＂象中的热量传播来讨论，当冷源存在时，它会促使温度降低，当热源存在５ 南通大学硕±学位论文＂＂一一．时，它会促使温度升高，从而维持定的温度在热源较强的情形下，在定一１４．时间内可能会发生爆破，即温度可能会达到个很大的值下面Ｗ具有源的［］多孔介质问题为例．２００５年，李等人巧研究了Ｗ下问题［］＇Ｕ二公１严＋ＸｖＰＸＧＱｔ＞０ｔ，，，＜０二Ｘ１．６若Ｑ（）），■ｕ二０：ｒ之０ＸＧｔ＞（：）：，、他们利用能量方法及比较原理证明了解的性质，即在０＜ｍ＜１的情形下，＞：ｐ＝ｍ或打１且Ａ＜Ａ时，问题１．６的解可能在有限时间媳灭．如果ｍ，或Ｐｉ（）Ｐ＜＝．者ｍ且Ａ＞Ａ时，对任何非负初值＂０，问题１６的最大解ｆ／限时ｉ：Ｐ（）佔。在有一－间内不媳灭，其中Ａｉ是算子Ａ在ｎ上的齐次Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件下的第特征值．２００７－Ｌａｌ年，田１６考虑了具有发展源的ｐｐａｃｅ方程的初边值问题［］Ｃ叫二瓜＋ＡｍＸＥｔ＞０，，＜ｕｘ０＝ｕｘＸＥＱ１．７（）（，）ｑ（），，ｔ＝０ＸＧ９ｆ２ｔ＞０ｕｘ（｛，），，，、其中１＜ｐ＜２ｇ＞０，作者运用能量方法和新建立的比较原理，证明了问题的，＝－１．解在有限时间媳灭的充要条件，得到ｇ１是问题（Ｐ巧的解能否媳灭的临界指数．一＂＂１．６．，，观察发现问题（、Ａ都是大于零的所Ｗ源项都是个热源）ａ巧中的，这说明对于反应扩散方程，即使有热源的存在，只要热源适当的弱方程的解也＂＂一可能在有限时间媳灭．个，当源项是冷源，即吸收项存在时问题解的媳灭性质又会有不同的情形．２０１０年，刘研究了如下含有非局部源的反应扩散方程解的媳灭性质＇ｑＵ二ｄ／＼ｕ＋ｕｘｔｄｘ—ｋｖＰＸ台Ｑｔ＞０ｔｆｎ（，），，，＜０二Ｘ１．８ＧＱ（））：■ｕ二０：ｒｔ０ＸＧ９ｔ＞（：），化，、６ 南通大学硕±学位论文Ｗ一其中Ｇ０１Ｃ化是个光滑有界区域．作者分别讨论了当〇＜：ｐ，ｇ（，），１ｉＶ＜４－ｌ－ｌ－＆Ｐ＜ｇ＜时，Ｗ如果，且初值适当小或者适当大，（ｇｐ）／［（ｐ＿）（ｇ）］那么问题１ｉｉｉＶ＞４－１－１－，如果，（刮的非负弱解在有限时间媳灭（）（９切／［（切（础且阿适当小或者＆适当大，那么对任何非负初值，问题１的非负弱解在｜％（刮＝有限时间媳灭．当０＜Ｐｇ＜１时，ｉ如果＆＞，那么对任何初值％问（）Ｉ巧＆＜９抵Ｍ９题１的非负弱解在有限时间媳灭，３或者０＜ｇ＜（刮脚如果／。畔（〇／ｐ＜１那么对任何非负初值Ｍ〇，问题１的非负弱解在有限时间内不会媳灭，（刮其中如Ｍ见文献１［可２０１３年，徐１８等人研究含有非局部源和强吸收项的多孔介质方程的解的媳［］灭性质＇ｗｑＵ二ｄ／＼ｕＸｕｘｔｄｘ—ｕＸＧｔ＞０ｔ＋ｆｎ（，）０＼化，＜０二策ＸＧ１．９（））％（）：化之二０ＸＧｄｆｌｔ＞０）：＾，、其中０＜ｍ＆＜ｌｄＡ＞０．他们得到问题１的非负弱解的媳灭条件，，，，，Ａｇ（邱也得到解的衰退估计．ｒｉｃｈｌｅｔＷ上都是在齐次Ｄｉ边值条件下讨论的解的性质，下面将介绍下在Ｎｅｕｍａｎｎ边值条件下解的性质，同样，大量学者Ｇ２２Ｈ２６Ｄ研究了在Ｎｅｕｍａｎｎ边界情形下的问题．Ｎ＝在有界区域ｎ上，ｅｕｍａｎｎ边值条件叢的非线性扩散方程（其中ｙ为ｎ的外法向，描述了物质内部粒子或能量与外界之间的交换关系．当＞）０时，表示在边界的外界粒子的浓度比内部粒子的浓度大，因为粒子总是从高巧＂浓度区域向低浓度区域扩散，这时粒子将由外向内流入，而当＜〇时，情况恰＂＝．恰相反，此时粒子由内向外流出当巧〇时，表示粒子所占据的空间与外界没．有任何交换关系，粒子不会发生流动现象对于具有齐次Ｎｅｕｍａｎｎ边值的扩散问题，根据物质守恒定律，因为内部与外界之间无任何物质交换，在初值不等于零的情形下，仅依靠扩散运动，有界区．域内各点的物质密度不会在某个时间同时为零要使问题的解在有限时间媳灭，７ 南通大学硕±学位论文一ｘ需要吸收项的作用．这推论Ｌａｉｒ和Ｏｌｅｙ２５己经得到，他们研究了如下问题［］＇Ｕ二ＡＦｕ—ＧｕＸＧ之＞０ｔ｛）｛），化：＜＝０ｘｅｄＱｔ＞０１．１０（）叢，，，０二ＸＧＱ），、其中Ｆ（Ｍ），Ｇ（Ｍ）都是非负非减的连续函数．在强吸收的作用下，对某些Ｅ＞０＜〇〇，问题１．１０的解在有限时间媳灭．，＾（）２０１４年２３－Ｌａｌ，崔（等人讨论了具有发展的ａｃｅ方程的齐次Ｎｅｕｍａｎｎ边值［］ｐｐ问题２９９一瓜７７＝—抵叫１；＼？＼＂ＸＥ＾１０＜ｔ＜Ｔ（｜广）心｜亩Ｊ。心｜，，，＝．＜０ＸｅｄＶｔＱ＜ｔ＜Ｔ１（叫叢，，，■二ｕ：ｒ０ＸＧ化（：）、利用了能量方法证明了问题ａ．ｉｉ的弱解在有限时间内媳灭．）一２０巧．ｕ年，郭等人通过建构个合适的微分不等式，得到了当问题ａ的）指数１＜＜２０＜＜－１Ｐ，ｇＰ和初值满足下列条件＾Ｅ＝－Ｖｕｄｘ—皮。｛ｕｑ％）：＜）Ｉ＼Ｑ＼／｜叫）｜〇ＰＪｎＱ＋＾Ｊｑ芯Ｗｉ’ｐ，．时，问题的解在有限时间内不媳灭，其中为能量函数ＧＬ诉ｎｗ）〇诉）对于非齐次Ｎｅｕｍａｎｎ边值问题，非线性边界条件的存在也会对解的性质产一－．２０００年８Ｌａｌ生影响，宁苏ｐ考虑了类发展的ｐａｃｅ方程的非齐次Ｎｅｕｍａｎｎ］ｐ边值问题＇＇＾＾＇＊＾—Ｕ＝ｄｉｖ＼ｕＶｕｕＸＥｆｌ０＜ｔ＜ｔｔｆ｛，，，｛＼＼））＊＜＝—＆ＭＸＧ（９０＜ｔ＜文篆（），化，■ｕ：ｒ０二＞０ＸＧ化（：）：、ｅ作者利用比较原理及试验函数方法证明了问题解的媳灭的必要条件是＜ｉ〇Ｗ＜Ｗ，也就是说在吸收项和扩散项或者两者滞合产生强的作用时，问题的解才会在有限时间媳灭，而相对较弱的吸收或者较慢的扩散产生作用．时，解不会媳灭８ 南通大学硕±学位论文２〇１２年，陶维安４考虑了下问题［］＇＊Ｕ二ＡｕＵＸＧ０＜ｔ＜之ｔ＋ｆ，化，（）＊＜二＾＾０＜ｔ＜ｔ１．１２（）叢？＾如）：，■二＞０ｕ：ｒ０ＸＧ（：），化、一．，通过构造阶微分不等式，得到了爆破时间的上界另外作者还得到了问题解的爆破的充分条件．一，通过上例子不难发现，个方程解的性质和很多因素有关如反应项为吸收项还是源项．，，还是两项共同作用再如在不同边值条件的作用下解的性质也？９。＝加和会不同．本文我们将利用能量方法来研究方程Ａｍ＋ＡＶｍ＋ａ＂｜｜／。？＂９。＝－方程叫Ａｍ＋ＡＶｍａ＂抵解的媳灭条件．｜｜／。９ 第二章含有梯度和非局部源的快扩散方程解的媳灭２．１问题简介自１９７４年Ｗ来，偏微分方程解的媳灭问题就引起了学者们的广泛关注，它具有明思的实际背景．自然界中，在生物进化、物质燃烧等过程中，在诸如死亡速率较快、物质对热量的吸收较强等因素的作用下，进化或燃烧过程可能将无法延．续下去，也就是在某个时刻生物将灭绝，燃烧将停止这种现象在数学意义上，我们就说用来模拟这些扩散运动的模型的解在有限时间媳灭．２００７年１４－Ｌａｌ，田研究了具有非局部源的ａｃｅ方程的初边值问题［］：ｐｐ＇＂ｇ二＋ｕｃｔｅＸＧｔ＞０明ＡＪ。：化：二．＜０策ＸＧ２］（〇）％（）：化之二０ＸＧｔ＞０）：，、－１２２乂＞０＞．１其中１＜＾＜他们得到如果，在初值足够小时，问题（的，，９，９＾）－．＜ｌ２．１解在有限时间媳灭如果ｇｐ，那么对所有的初值Ｍ〇，问题（的解在有）＝－限时间内不媳灭．可Ｗ看出１是问题２．１．这ｇＰ（）的解是否媳灭的临界指数类模型具有较强的工程和物理背景，如人口动力学，压缩气体的燃烧等．２０１１年，韩等人ｐ９］考虑了含有非局部源的问题＇＾ｑＵ二Ａｕ＋ａｕｔｄｘＧｔ＞０ｔ（ｙ，）ｙ，化：ｆｎ二．＜０策ＸＧ２巧）％（）：化（■二ｕ：ｒ之０ＸＧｔ＞０（：）：，、．＞ｍ２．２其中０＜ｍ＜１他们得到如果ｇ，初值足够小时，问题的解在有（）．＜ｍ０．限时间媳灭如果ｇ，在ｎ中，对所有ｔ＞最大解是正的对于临界情＝ｍ２．２，二形ｇ，问题（的解是否媳灭依赖于〇户的值其中且是）＾一—＝ｌ＝楠圆问题；ｒＧ０：ｒＧ说７的唯正解．，化，１０ 南通大学硕±学位论文２０１３年，穆等人３０研究了下列含有梯度源的问题［］二明Ｘｇ化ｔ＞０，＜■■２＾龙０二ｕＸＧ．３ｒｔｆｌ（）（：）ｏ（）：；■二ｕ：ｒ之０ＸＧｄｆｌｔ＞０（：）：＾，、其中０＜ｍ＜１，他证明了Ｗ如果ｍ＜ｐ＜，在较小的初值下，问题（２．巧的＾弱解在有限时间媳灭，＜ｍＡ足够大，对任何非负初值，问题（２．脚如果Ｐ，叫）巧＝ｉｉ＜的弱解在有限时间内不煌灭，ｍＡ足够小，解在有（＾。如果Ｐ＾：＾，．限时间媳灭受Ｗ上研究结果的启发，如果非局部源和梯度项共存在多孔介质方程中，方程解的性质会出现新的情形．这一章将考虑如下含有梯度源和非局部源的快扩散方程解的媳灭性质＇二＋０明ａｘＧｔ＞Ｊ。化，＊＜二２．４ｕ：ｒ０ＸＧＱ（）（：），二０ＸＧｄｆｌｔ＞０：＾，、ｗ一其中０＜ｍ＜ｌａＡ＞０ｆｉＣ吸ｉＶ＞２是个光滑的有界域，ＭＧ，ｇ，，，：ｐ，（）〇ｗＩ一Ｌ’ｐｎｎＷ个非负函数．（）ｑ脚是一些牛顿流体在多孔介质中的快扩散或者是一些生物物种问题２．４描述了（）的快扩散，这种扩散在许多物理现象中也会发生．当非局部源和梯度项共同存在时，在扩散时，它们会相互作用，从而对媳灭现象的发生都会起着促进或阻碍作用．需要解决的问题是当ｍ满足什么条件时方程的弱解在有限时间媳灭．为，ｐ，ｇ２一．４些集合：了方便定义问题（的弱解，首先定义）Ｅ２ｍ２Ｐ２ｑ＝ｕ：ＵｅＬｆｉＬｆｌＬｆｌＶｕｅＬｆｉ｛（Ｔ）ｎ（Ｔ）ｎ（Ｔ）；（Ｔ）｝，芯＝Ｇ巧斬：ＡＧ＝〇．０Ｋ）也ｆ巧斬）；引Ｗｔ｝定义２丄１．对任何Ｔ＞０函数Ｇ芯叫做问题作．如果对，心的弱解，任何〇＜＜；＾２＜Ｔ０＜ｅ芯〇满足下列方程：：ｆｕｘｔｘｔｄｘ—ｕｘｔｘｔｄｘ２２ｌｌ（，）ミ（，）（，）ミ（，）ＪｎＪｎ＾＇＾ｑ＾二ｕＡｄｘｄｔ＾Ｗｕｄｘｄｔａｕｄｘｄｘｄｔ｛＾ｔ＋ｕ＾｝＋＾＋＾＾人ＩＩＩ＾＼ｊ（ｊ）１１ 南通大学硕±学位论文０二ａ．ｅ．ｘＧ）２．２解的整体存在性一解决问题口．４解的存在性的标准方法之就是解决经典意义下的非退化问）一…题的近似序列问题．寻找个函数Ｍ〇。ＧＣａ诉，使其满足）１＞°°＂Ｏｎ＂Ｏｎ°°＂０＋１：ＩＩ｜｜正仰每Ｉ｜｜ｌ仰和＿＂０ｎ一０ｎ一〇〇．）｜｜叫｜｜＂仰，考虑下列逼近问题ｕ＝＋ｕ—ｄｘｘＥＱ０＜ｔ＜Ｔｎｔａ：，，，｛）Ｊ＾｛＾＾）＜Ｕ０＝Ｘ２．ｎｘＵ〇ｎｘＧ化（巧｛，）｛），Ｕｘｔ＝ＸＳｄａ０＜ｔ＜Ｔ．ｎ，，｛）、２．问题．光滑解Ｍｎ的局部存在性可由标准的抛物方程理论得到下面先介绍（巧的几个本文所需的命题．＜一一命题２丄设Ｐ１，Ｍｎ是问题保个解，那么存在个依赖于句的｜｜叫）｜｜护（巧的常数Ｃ满足—＜Ｃ．＾Ｕ，ｎ．２巧（巧Ｐ证明本命题由极值原理，Ｌ估计和Ｓｃ／ｗｍｄｅｒ估计可得．一一＝－命题２．２．设Ｍｎ是问题保句的个解那么存在个常数Ｃ７，巧＞１＂…巧足：０ｎ｜｜｜Ｕ师）＾＜Ｖｕ；＾ｄｘｄｔＣ２．７／＼＼，（）一ＳＳ＞１是个常数地其中，特别（；）２ＶｉＣｄｘｄｔ＾Ｃ，２ｆ＼＼（刮１２ 南通大学硕±学位论文＾／Ｖｕｎｄｘｄｔ＜Ｃ．２．９ｉｌ（）一１证明将问题２．个方程两边同时乘Ｗ＜Ｓ＞并在斬上积（巧中的第（Ｕ分，得到Ｗ下方程■＂－１１兰Ｍ啦）＋／抵讯／吩２／Ｓ讯＂ｌ＋Ｓ－ｌ心（）心口１０）＾＾二ｄｘｄｔ／＼Ｗｕｕ＋ａＩｄｘｄｘｄｔ．ｎ（诚＼＼＾）ＪＰＪｑＪｑＪｎ化ｔｔ＼）由Ｙｏｕｎｇ不等式，得到对任意５＞０，有ｇｉ＾ｑ二ＸＶｕ献之打Ａ｜｜＜（）２ＪｑｔＪｑｊ，ｌｙｙｍｉ＿＿Ｇ＿ｓ１１／＋｜＾＾＾＜ＡｅＶｕｄｘｄｔｎ．Ｕ（ｙ＼ｌ口）＾Ｊｎｒ一￣可＾９＋ＡｃＵｎｄｘｄｔ．（）材／２Ｊ〇Ｔ由口．１０和．１１式，得到）口）－甲門－争去！ｉＭ贵解＾畔叫／ｊ＇〇Ｚ２ｌｓｍ＋ｓｆｊ＿＿—１Ｃ｛）ｑ｛）ｌ｜２＾９ｇ＜ＡｃＵｄｘｄｔｎ（广材／２Ｊ＂Ｔ＇＇ｄｘｄｘｄｔ＋．（喊）；Ｊ心Ｊｊ２．１２（）选择足够小的Ｅ满足＂如－＂皆心二＿１／乂化２ｍＳ—１２＋（）则由２．、２．１２式可得到２．７．２．８、２．９是２．２．推论．（巧（）（）（）（）（巧和（巧■＾一二命题２．３？设Ｕｎ是问題传．存在个常数ＣＴｕ〇ｃ。句的解，则巧，｜｜〇ＪＵ，）痛足＇＜２．１３ｔ｜｜Ｋ）ｌｋＧ（）１３ 南通大学硕±学位论文２２ｉ这里Ｗ＝左化ＴＬ亩ＸＷ＝左ＴｉＪｎＬ暑Ｘ；巧（Ｗ）〇诉化巧），化；（））〇诉化巧．）一证明令ｆＧＷ且ｗ＜１．将问题２巧的第个方程两边同乘ｆ，并ＩＩ引Ｉ（．２．９在ｆｉｒ上积分，由口巧和口刮、式得到（）Ｕｄｘｄｔ＝＋ａ—ｄｘｄｘｄｔｎｔ＾与化Ｊｊｊ＾＾＜ＶｕｄｘｄｔＶ＾ｄｘｄｔ（ｆｉ＾ｆ＼＼］（［］＼Ｊｑｔ／＼ＪｎＴ／２＾＾Ｖｄｘｄ＾ｄｘｄ＋ｘｕ？ｔｉ＋Ｃ（［＼＼Ｙ（［ｉ）｜间｜巧柳）＼Ｊｑ．ｔｊｋＪＱｔ／＜ｃ．ｉＰ２４’一．定理．．对＞０给定ＭＧｎＷｎ么问题传任意Ｔ，〇（），那心存在〇个弱解ＭＧ芯．证明现在由２．、２２．１３式可Ｗ得到（巧（刮和（）Ｕｎ一Ｕ在中收敛．２．１４（）２Ｖ＜＾在Ｌ也中弱收敛．２．１（）（巧一下步，将得到２▽一在Ｌ〇ｒ中收敛．２．１６诚（）（）一２－２．将问题第个方程两边同时乘的Ｋ，并且两边积分得到（巧中的２＂１２—＋▽—＂抵讯＂。（▽的的）＊的端帖的）］（１１＝／ＡＶＭ％－化ｎ；ｒ２．１｜｜言的诚约（巧Ｊ机Ｔ＋ａ－抵＂八＂－Ｘ讯诚去）言側约，乂（ｉ／）＞一其中ｎ＆＞１是任意的，Ｓ１是被选定的，是个紧致的切断函数．将２．，Ｃ（巧式１４ 南通大学硕±学位论文一２．２．１３中的Ｍ和Ｕｆｃ交换得到个类似的不等式，两个不等式相加，由（，经。巧和（）过计算得到ｉｉ▽．ｖ－－▽．ｖＫ－抵化｛诚ＫＫ的）巧締Ｋ／Ｊ机Ｔｉｉ２＜Ｃ＋Ｖ＂Ｗ－抵化｛Ａｎ＋ＡｆｃＣ／｜幻｜｜Ｘ｜｜Ｘ｝Ｋ的１２．１８（）＾＾－＋ａｄｘ－ｕｕｄｘ气＋ｕ（Ｋｉ）（诚ｌｌ＼诚ｌ）／［化；１ＪｑｔＪｎ＿＾ｕ—ｕｄｘｄｔ０，＼＾ｌＫ由２．１４，选择ｓ二，经过２．１Ｓ式中的积分计算，得到（中的极限关系）呼（）－０ｋ＾ｏｏＶ＾ｎ．［｜（＜，，通过提取子序列，得到＂１ｆｉＶｕ：一勺＂在ｒ中收敛．，２．９２．１４２．１由（、和（）（）巧可Ｗ得到＾＾Ｗｕ在ｆｉｒ中收敛．２．１９，（）＼＼一一最后，因为是问题２．个光滑解，对于任意个函数£凤，有（巧《ｕｄｘｄｔ＝／／ｕｄｘｄｔ－／ｕ点ｄｘｄｔｎｔｎ｛）＾｛ＯｔＩｎ＾ＪｎＪＪｎ！０ｏ＝Ｔｄｘ—０ｄｘ—ｄｘｄＵｎｘｘＵｘｘｕｔ．（＾（；）Ｑｎ（）ミ（，）记ｆＪｎＪｎＪｏＪｎ因为二０，所有Ｃ（巧—０ｄ—ｄｘｄ二ｄｘｄｔｕ〇ｎ尤尤ｅｃＵｎｔｔｕｎｔ（）含（，）＾｛）＾ＪｎＪｏＪｎＪｑｔ＇ｑ＝—ｄｘｄｄｘｄｄｘｄＶ端Ｖ＾ｔ＋ＸＶｕｎ＾ｔ＋ａ／＾ｔ．ｊ＼＼（〇〇＂这里当７２＾时，得到＾是问题２．４的弱解．（）１５ 南通大学硕±学位论文２．３解的媳灭＜＊定理２．５．＜１＋ｍ＾假设？７１＜Ｐｍ＜那么对于充分小的初值〇，，ｇ■＜方程传．ｕ在有限时间媳灭且如果ｍ＜１则心的顯解ＯＭ），結ｌ＋ｍ＂１－文£Ｍｌ试引Ｉ。欄化刮，［倍．２０口）＝０＾£＋〇〇｛＼Ｍ＼ＸＺ，町，），如果０＜ｍ＜結＜＾，令ｓ＝曲ｉ＾＞ｌ，则（１－Ｇ貧文：ＴＩＨＩｆ引Ｋｌｌｆ＂品，化２），＿Ｊ牛２１口）Ｉ＝０ｔＧ＋〇〇＼ＩＭＩｆ，的），其中Ｃ２Ｃ分别由作．３．Ｗ定义了分别由作．３．义．，打，４从作；，２从作抑＾定一．４１证明首先，将问题的第个方程的两边同乘＞并在ｎ上积口））分，得到下列方程ｄ—ｉ１４ｍｓ１ｍ＋ｓｆ，（）ｆ２、口＇＇ｓｄｔ（ｍ＋ｓ－ｌＪｎｙＩ、．２２／丄？口）／ｒｒ＾＾ｑ＾＾Ｓ＾＝ｄｘＸＶｕ斗ｄｃｃ＋ａｖＦｄｘｕ．＼Ｉ２／７＾ＪｎＪｎＶ．下面，分两种情况来讨论１＜＾＜１２．２２二１，１１６１１首先，考虑，在（中令５＋７７１由（６］：不等式（）券請）和Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入定理得到＂２？＜７帯＾兮７＂２．２３蓮，｜心｜辟？问｜｜｜｜（）其中７是依赖于＾和Ｗ的Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入常数．因为０＜ｍ＜ｌ＜ｌ＋ｍ，，ｐ由Ｈ６１ｄｅｒ不等式得＾＾＾＇ａｆｎＦｄｘｆｕｄｘ＜ａｆ２＾－．２４｜｜ｌｌｌｌｉ＋ｍ口）ＪｎＪｎ１６ 南通大学硕±学位论文２牛ｍ（９）＜同样，因为ｇ＜０＜ｍ＜１，意味着１＋＂ｉ，那么，由Ｙｏｕｎ式ｇ和册Ｉｄｅｒ不等式得到２心２…ｌｍｇ＋ｍｍ２▽＂（）ｔｏ＜▽＂ｄ拼过工％（：ｒ＂Ｉ｜｜｜／１）＾／＾＾＜６／ｉＶｕｄｘ＋ｃｉｃ）／ｕ可ｄｘｌＪ。２．２５今（）＾＾＜５／ｉＶｕｄｘｌＪｎ２ｍｍ｛ｑｑ＼）ｌｍ２（２（ｑｑｍ＋ｍ＼（＋；）（３〇）ｆｆｌ＾＋＾２ｌｍＩ（＋）（ｇ）ｄｘ＋Ｃ￡０ｕ．（）｜｜ｊｊ－因此，由２．２２２．２５式，得到下列不等式（）（）＂２＂＋１－Ａ＂。兮就｜ＩＭ１１肚？（巧７｜辟ｍ；＾苗２ｍ＋ｍ（ｇｇ）２ｍｍ（ｇｇ＋）ｐ＋＾＇９ａ＜Ａｍｃ己町恥可＋ａ〇而（）问ＩＭＩｉ＋ｍ｜ｌＩＭＩ打＾＊１－０＾＞，选择足够小［＾满足，选择足够小的＾满足〇２ｍ（９）Ｎ２２ｍ２ｒｎ＋ｍ）ｉ（ｑｑ。ｇ２＾品ｉｍ－（＋）口ｇ）１＜Ａ＂如Ａｍ．２ＩＭＩｌ＋ｍ村阿｜（句７，口巧则２顆＋Ｃｉ＜。。２．２７Ｈ？１１ＨＩ扛：：：，（）觀辟２Ｈｉ）ｍｍ＿．Ｎ勺９ｍ１（ｑｑ＼）２ｇｉ＋ｇ＝－＾而Ｉ－（ｍ）口ｇ）＞０其中Ｃ１Ａｍ％ｎＡｍｃｍ．ｌ材阿（）７｜｜｜〇｜｜｜｜ｉ品２．由（巧式，得到？２２－＜－ａ鮮ａ记阿句刮鮮，ＩＭ杠ＩＭＩＩＭ辟ｍ品＾差［句选择充分小的Ｍ日有ｉ熙２＂＜ａＣ２．２８ｌｌ〇ｉｒ品ｉＭ，（）１７ 南通大学硕±学位论文则－＂＜＂２．２９，品＾直ｌＵ捕勾｜｜辟ｍ（）其中２＝－黯０ＧＣａｆｉ＞．２．３０ｌ｜｜ＩＫｔ立（）２．２９将式积分，得到（）１ｍ＋１…＜ｕｉ－Ｍ＼ＸＺ＼＼４＼ＸＺ，ｆＶ祀１－｜Ｐ〇｜ｌｌ＋ｍ」＋这意味着在有限时间＂〇中１１１１就一。１、＾＝１７；＾１－１７１〇（２）．．媳灭，且２２０成立（）＝曲祖２＜．２２＞其次，考虑第二种情况〇＜ｍ＜，在口中令ｓ）（）癸苗＾与１ｌ，由Ｓｏｂｏｅｖ嵌入不等式，得到￣＝＜ｕＶ？＾２．３２ｉ，＼＼＼＼７ｌｌｌｈ（）这儿７ｉ是依赖于ｍｓ和ｉＶ的Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入常数，因为０＜ｍ＜１０＜＜，，ｇ那么由Ｙｏｕｎｇ和Ｈｏｌｄｅｒ不等式我们得到９＋１＾２％２献／ＵＩＶ１２．３３（）ｓｍｇ２ｓ２２＋ｓｍ２ｓ巧）ｍ＋ｓｌｎ１口）ｇ＋＾—ｉ２ｓｇ２ｇ＜？口）．Ｖｕ＋ｃ？ｆｉｓ７壹７｜｜ＩＩ（）｜｜Ｉ心｜｜又因为Ｓ＞１，得到＾＾＾＿ｉａｆｖＦｄｘｆｕｄｘ＜ａｆ２．．３４｜ｐ｜Ｍ｜严口）ＪｎＪｎ１８ 南通大学硕±学位论文－．．．因此，由２２２２３２２３４式可Ｗ寻到下列不等式（），（）（）２ｓｉ＂＂边｜｜｜Ｗ＾Ｍ）ｗ｜ｉｉｒ其马畔為３２２占ｍ占（）ｇ十＿（ｓｍ２ｓ２ＴＴ？Ｓ１Ｚ）ｑ＋。＋占１冬１＿９１—２ｇ２１＾巧＾＜Ａ。＋。＂．（＾广切）问问｜｜｜｜严ｇ－＂＂＂日选择リ充分小得到Ａ，选择Ｍｏ充分小，ｗ满足ＳＳ＾（＾）リ＞＾＾４ｍ＿－吗爭ｓ１＂ｉ＋ｓｌＩＩＩＩ、１１／、２／（）＇／、。、ｓ＜乂。佩７Ｋｌｌ１＋心９２－（３＂６１１＋诚ｒｉ．．３５华｜口）（２＾）则３１２１－＜。呼２心。＂．３｜｜：＋勾心｜｜产｜｜｜｜｜｜，（巧真严Ｓａｔ２ｍ｛ｑ）（ｓｍ２ｓ２；３）ｇ＋ｎ／！／１、１１１２ｉ—２９＾ｇ其中＝－－巧＾Ｃ３７ＡＡｎｕ〇ｓｉ（為仁崇（畔厂Ｗ（畔厂ＭＷ｜｜｜｜｜｜＞０，由２．３得到（巧式化化２２ｍ＋ｓｉ＜－片片－＂ａ〇ａ．去苗１１１：｜｜句问ＩＭｉｒＩＭｉｒ［］如果Ｍ日細足山ｍｉ吗２＜ａＣ３２．３７｜Ｋ｜｜ｒ问，（）则有６１－２．３８Ｍ，）苗ｌ：含勾心｜｜产（其中化２ｍＣ＝－片ａｆｉ＞０．２．３９４Ｇ（｜｜ＩＫＩｉｒ）１９ 南通大学硕±学位论文将２．３８式两边同时积分得到（）１—？？（７之Ｍ，１。Ｍ，１。「（０４１＂＂ｉ－°，ｉｉｉｉｓ引ｉｉｉ４ＩＷ矿Ｌ＊这意味着？／在有限时刻林，＾＂°ｌｌｌｌｓＴ＝２．４０２、）（）１－ｍＣ（）ｉ．２１．媳灭，且口成立）定理２．６？二＜＜１＋ｍ＜那么对于任何初值抑假设ｍｇ，当Ａａ足Ｐ，ｇ：■够小时方程俾心的顯解ｕｒｔ在有限时间媳灭．，Ｏ：）证明假设ｍ二＜＜１＋ｍ＜．注意不等式２．２６和２．３ｇＰ：ｇ（）（巧的左边．２．５．．恒等于１因此同定理的证明，选择足够小的Ａａ满足不等式２２６、２２８、，（）（）■２．．３、２．３７，这意味着存在Ｔ使得对任何ＭＧｆｉｕ）ｒ有Ｍ）媳灭（巧（）０Ｏ２０ 第Ｈ章含有梯度和吸收项的超扩散方程解的媳灭３．１问题简介２００９年，作者研究了如下多孔介质类型的奇异反应扩散方程的初边值问题ｗｉ？二Ｕ—ａＶｕ＼／ｕｔｘｕＸＧｔ＞０ｔ〇（）ｆ（，，），化：＜＝３．Ｌｔ：ｇｘｕ：ｒＧ３化ｔ＞０（）（，＾，，），■ｕ二：ｒ０ＸＧ（：）化、一＝其中是个具有光滑边界的有界区域，＾为〇的外法向，ａａ：ｒＧ〇〇托）片一一ｏｏ：ｒＧ个正的函数，般来说，／ｔ：ｒＭ和都是关于Ｍ的非化），，巧是（，）线性函数．扩散项中的ｍ是任意的常数，它可Ｗ是正数，负数或者是化当ｍ＞一０时问题是个退化的抛物方程，这类方程广泛应用于应用科学，比如气体流动＝和福射传热．当ｍ１时扩散为标准扩散，当０＜ｍ＜１时，扩散称为快扩散，一当ｍ＞１时，扩散称为慢扩散．另方面，当ｍ＜０时，扩散称为超扩散，它来自＜０２３３，＝０３４，许多的具体问题，包括离子的扩散扣ｉ液滴的传播ｍ，ｐ，］）（，［］）＝—１３５＝０３６３７固态氨中的热传导．就问题３Ｊ，许（ｍ和几何学（ｍ，［］），［，］）（）多学者研究了解的存在性，解爆破或在有限时间媳灭，整体解的渐近斤为和平衡解的稳定性．他们还研究了非局部反应函数Ｕ３８３９和两个或者任意多个方程的，］）稱合系统４０４１．（［，］）本章中，将考虑如下含有梯度源和吸收项的超扩散方程解的媳灭问题？Ｕ＝Ａｍ＋Ａ￣＾ｘＥｔ＞０ｆ｜Ｉｎ，＜０＝３．２ｕｘＵｘ；ｒＧ化）｛，）ｑ｛），（ｉｘ二ＸＧｔ：ｒｉ０（９化＞０（，：）：、ｗ一－ｌ０］ｖ２其中ｍ＜ａＡ＞０＜ｆｉＣ化＞是个光滑的有界域，Ｇ，ｇ，，，：ｐ，（）…ｉＰ一Ｌ’０ｎｗｎ是个非负函数．论文的第二章讨论的是含有梯度和非局部源（（；）〇；）２．＞０．的快扩散方程初边值问题．４解的媳灭，注意到在问题２４中ｍ＞０（）（），ｐ此时不但把非局部源项变成吸收项，而且ｍ和均小于０，可Ｗ证明方程的解仍：ｐ会媳灭．２１ 南通大学硕±学位论文…－点＝加．为了证明方便，在本章中，当ｍ＜１时，记＂ｍ与第二章？（／。）｜｜｜｜一些集合类似我们可Ｗ给出问题悼巧的弱解的定义．首先定义：＊ｍＰ２２ｑＥ＝ｕ：ｕｕｕｅｌＱ乃ＵｅＬＱ｛，，｛ｔ）｛Ｔ）｝，２２＝＝ＧＬ．斬：ＡＧＬ恥０巧Ｋ（）红ｆ（）；如。Ｔ｝＊定义３丄１．对任何Ｔ＞０函数Ｇ芯叫做问题的弱解如果，件句，对任何＜＊０＜＜心＜Ｔ０Ｇ满足下列方程：，ｆ匈ｄｘ—ＵＸｔｘｔＵｘｔｘ．ｔｄｘ（；２）＾（；２）（；ｉ）＾（＇ｉ）ＪｎＪｎ＾＇＇＾＾二ｆ＋ｄｘｄＶｕｄｘｄｔ—ａｕｄｘｄｘｄｔｕｕＡｔ＋Ａ／［ｔ人｛＾＾｝ｉｌ＾（）＾＾ｊｊｊＪｔＪｎＪｔＪｎＪｔＪｎＪｎｉｉｉ＝０ａ．ｅ．ｘ色ｆｌ．）３．２解的媳灭定理３．１．假设＜ｇ＜＜１＋ｍ，那么对于充分小的初值训，方＾＾，：ｐ程的弱解Ｕ佔。在有限时间媳灭，且有＊（＂１＿ｔＧｌｍ〇ｌｍ，，ＩＭ｜＋引｜｜｜＋？化巧｜。７結＾０巧解不存在，＾￡巧３：＋〇〇）；１其中Ｃｅ了分别由件Ｊ从件Ｊ句给出．：３一Ｓ１证明将问题３．２中的第个方程两边同时乘Ｗｍ并且两边积分得（）＾￣Ｓｉｄｘ＋Ｖｎ＾工ａｕ（ｉｘｉｉＦｄｘｕ作＋［＾＾［｜ｆｆｓｄｔｍ＋ｓ—１ＪｎＪ。Ｊ。［Ｊｑ）口．４＾＋ｓ－ｌ兰ｇ乎ｇ＋ｓｉ二Ａｒ／Ｖｍ吗％献．「｜１２Ｊｎ二１—令ｓ＋ｍ，因为ｍ＜ｌ＜ｌ＋ｍ，由逆Ｈ６１ｄｅｒ不等式得，ｐＰｓｉ２就ｉ＋ｍ责ｉ＋＾ａｕｄｘｕｄｘ＞ａｌｄｘｕｄｘｆｕｄｘ贵ｆ（）（））ｆｆｆＪｎＪｎ３．５（）２－二ａ賴｜呵ＩＩ叫｜扛２２ 南通大学硕±学位论文２＋ｍ（ｇｍ）－ｌ＞１又因为＜＜，那么由Ｙｏｕｎｇｍ＜，意味着＋Ｗ為為，％ｇｇ和册Ｉｄｅｒ不等式得ｍｑ片ｍｑ＋ｍＶｕＵ）ｄｘｆ＼＼Ｊｎ＂刪Ｗ叩Ｖｕｄｘｙｄｘ户３．斗ｆ＼ｆ作（（巧ｆＪｎＪｎ２ｍｍ２ｍｍ（ｇｇ＋）＿（ｑｑ＋）Ｉ。１／ｍ２＾ｌ＋ｍｉ？２抵（＋）（ｇ）＜己Ｖ＂加＋Ｃ己巧项＂．／｜｜（）｜巧／）ＪｎＪｎ－由３．４３．得到（）（巧式可Ｗ？ｇ抵法＾乂己＋ａ。｜ＩＭＩ某ＩＨ］广扛ｍ千ｉａｔｊｊ。ｎ口。２ｍｍ２ｍｍ１｛ｑｑ＋）／＿｛ｑｑ＋）＾ｉ－２ｉ－２ｉ（＋）（＾）／（＋）（．）＜Ａｍｃ５７．｜｜（）｜｜（Ｊｎ－ｌ又因为ｍ＜，所，［＾有ｍ＜＾由册Ｉｄｅｒ不等式得到Ｗ＾…＇載ｄ瑞？ｕｄｘ０贵端ｕｘ＝式＾專＂ｉｉＩ巧ＩＩＩｊ）＼＼）气宗ｊ再由Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入定理一，（妒（ｎ）脚）得到ｍ＜ＫＶｕ｜２，ＩＫＩＩ＾｜｜｜其中Ｋ是仅依赖于ｍ和ｉＶ的嵌入常数．由Ｗ上两个不等式可得＂２令ｍＫ就Ｖ＾３（刮Ｉｉ陪问ＩＷ辟ｍ引那么由３．８．式，３式可变为（）（巧＂ｍｇ皆瑞＂抵＋１－乂己。／（ＩＨ）叫｜ＩＭ辟ｍｍＩｄｔ＋Ｊｎ２＋ｆｉ賴３．９ａ（）｜｜ＩＭ位：：：２ｑｑｍ＋ｍＩ２（ｑｑｍ＋ｍ）（）Ｉ９＾＾＾ｉ＋＾＇ｓｉ＋？＾２ｇ（Ｋｇ）／ｄｘ（）（）含Ａｍｃ。ｕ．｜「（刮Ｉ（）Ｊｎ２３ 南通大学硕±学位论文■ｌ－％＞００Ａ＞，选择充分小的选择合适的ｄ吏得ｍ，因为ｕｏ使得｜｜＾２ｍ｛ｑ）Ｎ２２ｍ２ｍ＋ｍ）１１ｉ（ｇｇ〇。Ｉ９１品１＋２巧硕可ｙｌ－％３Ｍｍ＜乂ｍｃ己ＡｍＫ．１０Ｉｌｏｌｌｉ＋｜｜（（｜｜），（）这样可Ｗ得到２賴＋Ｃ５Ｋ＋ａ〇＜〇３．ｍ，品＾｜ｈＩ滿ｌＴ｜｜ＩＮ位：：：（叫２ｍ（ｇ）２ｍｍＮ９９（ｇｇ＋）ｍ＾２ｇｇｉ＋－２ｇ二－雨－（）（）＞０其中得１ＡｍｋＡｍｃ＾ｘ．（（ｏ｜｜句｜呵｜｜＞）｜呵ｌｌｌｌｉ品进一步有２＜－＂－。。熙Ｍ肚词１ｍ１｜ＩＭ位：：：击為辟ｍ十１ａｔ口１２）２？２１＝－。顆＋顆。ＩＷ，问｜心｜｜打阿｜辟ｍ［叫这样可Ｗ得到－＂＜Ｃ６．３．１苗１１肚；：：｜Ｍ献（巧其中Ｃ＝Ｃ＋ｎ＾ｕ＞＾３．１４ｅ，ａ〇，（）＼ｔ＼＼＼＼ｒＺ将３．１得（巧式两边同时积分＾１－側「（）端１ＩＩＩＩ＜／ＩＩＩＩ１１ｍＭＩ心｜｜ｌ＋Ｉ心〇｜｜ｌ＋ｍｉｍ，｜｜」－｜Ｐ〇ｌｌｌ＋ｍ＋这意味着在有限时刻＂〇了ｌｌｌｉ３．１３（巧－！节１ｍ）Ｃｅ（媳灭．通过Ｗ上证明可Ｗ发现当问题口．４中的非局部项改为吸收项，方程的解）也会媳灭一一，且媳灭时间和估计表达式与第种情况是样的，只是媳灭的条件发一．生了改变，这改变主要是在运用能量不等式时条件发生了改变２４ 南通大学硕±学位论文可兴进一步研究的问题关于方程解的媳灭的研究是比较重要的课题，本文主要研究了在Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值条件下梯度项指数是常数的问题，受文献４２的启发，我们还可Ｗ继续研究［］在Ｎｅｕｍａｎｎ边值条件下梯度项是变指数问题？９正口＝（’。加叫Ａｍ＋ＡＶｍ＋ａ＂ｘＥｔ＞０｜｜Ｊ。，，＜二－ｂｕｘｅｄｎｔ＞０｛，，，禁）０二ＸＧｆｌ）、的解的媳灭性质．，它，另外关于方程组解的媳灭的文献较少，在生物种群中们相互作用有可一一个种群媳灭．我们希望找能死亡），另个种群存活，也可能两个种群都媳灭（到形如如下方程组？＝／叫Ａｍ＋／Ｍ＇ｉ（，），Ｉ＂＝Ａ／＋ｙ的ｚｍ／２（，）Ｉ在不同边界条件下，解的媳灭条件．２５ 参考文献１ＷａｎＭＷａｎＹＭｅｒｔｉｅｓｏｆｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎ－ｌｏｃａｌｒｅａｃｔｉｏｎ－ｇ．Ｐｒｏ，ｇｐｐ［］ｉｉ－ｄｆｆｕｓｏｎｒｏｂｌｅｍｓＪ．Ｍａｔｈ．Ｍｅｔｈ．ＡＬＳｃｉ．１９９６１９１４１１４１１１５．：６ｐ，［］ｐｐ（）［２陈玉娟．非局部的退化抛物型方程组的解的爆破和整体存在性Ｊ．数学物理学报．］［］２００６２６１－５．：７３７４０，（）ａｎ－ｆｏｒＰＨＸｉｎＲＺｅｎＰ．Ｉｎｆｉｒｄｔｅｔｉｍｅｒａｄｉｅｎｔｂｌｏｗｕａｒａｂｏｌｉｃｒｅｓｃｒｉｂｅｄ闽，ｇ，ｇｇｐｐｐ－ｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅｅｕａｔｉｏｎｓＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａ２０１５４２２１４４目４５５．ｑｐｐＬ：，［］（）４一陶维安．ｅｕｍａｎｎ边界．，穗春来类具有非齐次Ｎ条件的半线性热方程解的爆破现象巧［］＿四川大学学报？２２４９４．自然科学版）化：７６５７７〇（，（）［５ＫａｌａｓｈｎｉｋｏｖＡＳ．Ｔｈｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｏｆｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｉｎｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｈｅａｔ］ｃｏｎｃｔｉｏｎｗｉｔｓｏｒｔｉｏｎ－ｄｕｈａｂＪ．ＵＳＳＲ．Ｃｏｍｐ．Ｍａｔｈ．ｈｓ．１９７４１４４．ｐｐ：７０８５，［］ｙ（）ｅｎａｃｉｏｎｒａｎｒｅｎｃｏｔｉｍ化ｔｅｔａ－６巨ｌＳＬＰｈＳｃｌＤｌ．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｎｏｎｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒ，，，［］Ｗｖｉｓｃｏｕｓ－ｉｅ－－Ｈａｍ化ｏｎＪａｃｏｂｑｕａｔｉｏｎｉｎＲｊ．Ａｓｙｍ．Ａｎａｌ．２００２３１３４：２２９２４目．，［］（）－７ＣｈｕｎＳＹａｒｋＪＨ．ＥｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｏｓｉｔｉｖｉｔｆｏｒｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎＬａｌａｃｉａｎ，［］ｇＰｐｙｐｐｅｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈａｂｓｏｒｔｉｏｎｏｎｎｅｔｗｏｒｋｓＪ．Ｃｏｍｕｔ．Ｍａｔｈ．Ａｌ．２０１５目９３：ｑｐ，［］ｐｐｐ（）２２３－２３４．ＦｒｉｅｄｍａｎＡＨｅｒｒｅｒｏＭＡ．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｒｏｅｒｔｉｅｓｏｆｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｓ间，ｐｐｉｏｎａｂｓｏｒｉｏｎ－ｗｔｈｓｔｒｔＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｌ．１９８７１２４２．ｇｐｐｐ：５３０５４６，［］（）－ＦａｎＺ巨．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒｏｆ９ＸｕＸＨｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅＬａｌａｃｉａｎｅｕａｔｉｏｎｓｇ，ｐｐｑ［］ｉ－ｗＪ．Ｎｏｎｌｉ．２０１２１３４１１．化ｎｏｎｌｏｃａｌｓｏｎｒｃｅｓｎｅａｒＡｎａ＾Ｒｅａｌ：７８０７８９，［］（）２６ 南通大学硕±学位论文１－０ＨｅｒｒｅｒｏＭＡｅｌａｚｕｅｚＪＪＬ．Ａｒｏａｃｈｉｎａｎｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｏｉｎｔｉｎｏｎｅ，［］Ｖｑｐｐｇｐｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｈｅａｔｅｕａｔｉｏｎｓｗ化ｈｓｔｒｏｎａｂｓｏｒｔｉｏｎｓＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．ｑｇｐ［］１１２－１ＡｐｐＬ９９２７０．：３５３３８，（）１１ＨａｎＹＺＧａｏＷＪ－．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｎｏｎｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒａｏｌｔｒｏｉｃｆｉｌｔｒａｔｉｏｎ，ｐｙｐ［］ｉｉ－ｅｏｎｗｔｈａｎｏｎｌｏｃａｌｓｏｕｒｃｅＪ．ＡＬＡｎａｌ．２０１３９２３．ｕａｔ：目３目目５０ｑ，［］ｐｐ（）１２－－ＬｉｕＷＪ．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｎｏｎｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｎｏｎｌｏｃａｌｒｅａｃｔｉｏｎ［］ｉｉ－ｄｆｆｕｓｏｎｒｏｂｌｅｍＪ．Ｅｌｅｃｔｒｏｎ．Ｊ．．Ｔｈｅｏ．２０１０２０１５１１２．ｕａｌ：ｐ，［］Ｑ（）１－－３ＤｉａｚＧＤｉａｚＩ．Ｆｉｎｉｔｅｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｔｉｍｅｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒａｒａｂｏｌｉｃｅｕａ，［］ｐｑｔｉｏｎｓＪＣｏｍｍ－．Ｐａｒｔ．Ｄｉｆｆ．Ｅｕａ．１９７９４１１：１２１３１２３１．，ｑ，［］（）［Ｍ］田规？非线性反应扩散方程解的媳灭和支集收缩等性质阿？成都：四川大学，２００７．１５ＬｉＹＸＷｕＪ．ＥｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒｆａｓｔｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｏｕｒｃｅｓＪ．，［］ｑ［］－Ｅｌｅｃｔｒｏｎ．Ｊ．Ｄｉ抵ｒ．Ｅ．２００５２００５４．：３５７３７０ｑ，（）１ａｎ－－目ＴｉＹＭｕＣＬ．ＥｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｎｏｎｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒａＬａｌａｃｉａｎｅｕａｔｉｏｎｗ化ｈ，ｐｐｑ［］－ｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｏｎｒｃｅ．ＮｏｎＬＡｎａｌ．２００８目９８：２４２２２４３１．ｐ，］（）１７ＬｉｕＷＪ－－．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｎｏｎｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｎｏｎｌｏｃａｌｒｅａｃｔｉｏｎ［］ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｒｏｂｌｅｍＪ－ｐ．Ｅｌｅｃｔｒｏｎ．Ｊ．Ｑｕａｌ．Ｔｈｅｏ．２０１０１５１５：１１２．，［］（）１８ＸｕＸＨＦａｎＺ巨ＹｉＳＣ．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｄｅｃａｅｓｔｉｍａｔｅｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａ，ｇ，ｙ［］ｐｏｒｏｕｓｍｅｄｉｕｍｅｕａｔｉｏｎｗ化ｈｎｏｎｌｏｃａｌｓｏｕｒｃｅａｎｄｓｔｒｏｎａｂｓｏｒｔｉｏｎＪ．Ｂｏｕｎｄｑｇｐ［］２０１３２０１３１１－１ＶａｌｕｅＰｒｏｂＬ．：３，（）１９巨ｅｎａｃｌｉｏｎｒＳｌａａｒＧＲＬｍｉｒｅｎｃｏｔＰ．Ｌａｒｅｔｉｍｅｂｅｈａｖｉｏｒｆｏｒｔｈｅｆａｓｔｄｉｆｕｓｉｏｎ，ｇ，ｇ［］－ｅｔｉｏｎＪ．Ｊ．Ｄｉｆｅｒ．Ｅ．２０１２目０．ｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｃｒｉｔｉｃａｌａｂｓｏｒｕａｔｉｏｎｓ：ｑｐｑ目，８０００８０２４［］２７ 南通大学硕±学位论文２０ＨｅｒｒｅｒｏＭＡＶｅｌａｚｕｅｚＬＬＪ．Ｏｎｔｈｅｄｎａｍｉｃｓｏｆａｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｈｅａｔｅｕａｔｉｏｎ，［］ｑｙｑｉｉ－ｗｔｈｓｔｒｏｎａｂｓｏｒｔｏｎＪ．Ｃｏｍｍｕｎ．Ｐａｒｔ．Ｄｉｆｆ．Ｅ．１９８９１４１２１１１５．：６５３７ｇｐ，［］ｑ（）２１ＸｉｎＳｅｎｅｒａｔｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｕｓｉｏｎｒｏｂ－．Ｇｌｏｂａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒａｄｅｇｐ［］ｌｅｍｗ化ｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｇｒａｄｉｅｎｔｔｅｒｍａｎｄａｂｓｏｒｐｔｉｏｎＪ．Ｊ．Ｐａｒｔｉａｌ．Ｄｉｆ．Ｅｑｓ．２００８，［］２１４－．：３７７３８３（）２２－巨ｎｄｄＣＢｏｌｄ巨．巨ｌｏｗｕｉｎａａｒｔｉａｌｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｕａｔｉｏｎｗ化ｈｃｏｎｓｅｒｖｅｄｆｉｒｓｔ，［］ｐｐｑ—ｉｎｔｅｒａｌＪ．Ｓｉａｍ．Ｊ．Ａｌ．Ｍａｔ．１９９３５３３：７１８７４２．ｇ，［］ｐｐ（）２３－－ＷａｎＷＭＷａｎＹＭ．Ｐｒｏｅｒｔｉｅｓｏｆｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｏｃａｌｒｅａｃｔｉｏｎ，［］ｇｇｐｐｄｉｆｆｕｓｉｏｎｒｏｂｌｅｍｓＪ－ｐ．Ｍａｔｈ．Ｍｅｔｈｏｄ．Ａｐｐｌ．Ｓｃｉ．１９９６１９１４：１１４１１１５６．，［］（）２４－－ＬｉＹ．ＸＸｉｅＣ．Ｈ．巨ｌｏｗｕｆｏｒＬａｌａｃｅａｒａｂｏｌｉｃｅｕａｔｉｏｎｓＪ．Ｅｌｅｃｔｒｏｎ．Ｊ．Ｄｉｆ．，［］ｐｐｐｐｑ［］－Ｅ．２００３１０１４．ｎｓ：９５５００ｑ，（）２５ＬａｉｒＡＶＯｘｌｅＭＥ．Ａｎｉｓｏｔｒｏｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｕｓｉｏｎｗ化ｈａｂｓｏｒｔｉｏｎ：ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，［］ｙｐｐｉｉ－ａｎｄｅｘｔｏｎＪ．ＮｏｎＬＡｎａｌ．１９９６１９３４２４３４．ｎｃｔ：７，［］（）２目ＢａｉＸＬＺｈｅｎＳＮ－ｖｅｒｓｕｓｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｉｎａｎｏｎｌｏｃａｌ－ＱｎＣＹ．巨ｌｏｗｎＬａｌａｃｅ，，ｇｐｐｐ［］ｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈＮｅｕｍａｎｎｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｐｐｌ．２０１４，［］４１２１２６－：３３３３．（）＂２７ＷＪ－ｉｉｉｉ－－Ｇｕｏ巨Ｇａｏ．ＮｏｎｅｘｔｎｃｔｏｎｏｆｓｏｌｕｔｏｎｓｔｏａｆａｓｔｄｆｕｓｉｖｅＬａｌａｃｅｅｕａ，ｐｐｑ［］ｔｉｏｎｗ化ｈＮｅｕｍａｎｎｂｏｕｎｄａｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｌ．２０１５４２２２：ｙ，［］ｐｐ（）１５２－１５１７３．［２８ＮｉｎｇＳ．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｉｎｆｉｒｄｔｅｔｉｍｅｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｐａｒａｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ］ｗｉｔｈｎｏｎｌ－ｉｎｅａｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄ化ｉｏｎｓＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｌ．２０００２４目２：５０３ｐｐ，［］（）５１９．２８ 南通大学硕±学位论文２９－ＨａｎＹＧａｏＷＪ．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒａｆａｓｔｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｕａｔｉｏｎｗｉｔｈａｎｏｎｌｉｎｅａｒｎｏｎ，［］ｑ－ｌｏｃａｌｓｏｕｒｃｅ．Ａｒｄｉ．Ｍａｔｈ．２０１１９７４．：３５３３６３ｐ，］（）３０ＭｕＣＬＹａｎＬＸｉａｏＹ巨．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎａｎｄｎｏｎｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｆａｓｔｄｉｆｕｓｉｏｎ，，［］ｉ－ｅｏｎＪ．Ａｂｓｔｒ．ＡＬＡｎａｌ．２０１３２０１３４１１．ｕａｔ：６ｑ，［］ｐｐ（）３１ＰａｏＣＶ．ＳｉｎｇｕｌａｒｒｅａｃｔｉｏｎｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｏｒｏｕｓｍｅｄｉｕｍｔｅＪ．Ｎｏｎｌ．ｐｙｐ［］［］－－Ａｎａｌ．２００９７１．：２２０５２，６００３巧）３２巨ｅｒｒｍａｎＪＧＨｏｌｌａｎｄＣＪ．Ａｓｍｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ，ｐ［］ｙｙ１－ｅｕａｔｉｏｎ二１町‘‘．．ｔ．ｉｓ．１２３．ｑ＾１１ＪＭａｈＰｌ９８３，：９８３９８７（）闲ｙ３３ＬｏｎｎｒｅｎＫＥＨｉｒｏｓｅＡ．ＥｘａｎｓｉｏｎｏｆａｎｅｌｅｃｔｒｏｎｃｌｏｎｄＪ．Ｐｌｉｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ．１９７目，，［］ｇｐ［］ｙ４２－５９：８５２８６．（）［３４］ＤｅＧｅｎｎｅｓＰＧ．Ｓｐｒｅａｄｉｎｇｌａｗｓｆｏｒｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃｄｒｏｐｌｅｔｓ［Ｊ］．Ｃ．Ｒ．Ａｃａｄ．Ｓｃｉ．Ｐａｒ－ｉｓＩＩ．１９８４２９８１１：４７５４７８．，（）３５ＲｏｓｅｎＧ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎｉｎｓｏｌｉｄ化Ｐｌｉｓ．Ｒｅｖ．Ｂ．１９７９１９４：，［］师ｙ（）２３９８－２３９９．３目ＨａｍｉｌｔｏｎＲ．ＴｈｅＨａｍｅｃｋｅｓｔｉｍａｔｅｆｏｒｔｈｅＲｉｃｃｉｆｉｏｗＪ．Ｊ．ＤｉｆｅｒｅｎｔｉａｌＧｅｏｍ．［］［］１２２－２４９９３３７３７．：５３，（）３７ＷｕＬＦ．ＡｎｅｗｒｅｓｕｌｔｆｏｒｔｈｅｐｏｒｏｕｓｍｅｄｉｕｍｅｑｕａｔｉｏｎｄｅｒｉｖｅｄｆｒｏｍｔｈｅＲｉｃｃｉ［］－ｆｉｏｗＪ．Ｂｕｌｌ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．１９９３２８１４．：９０９，［］（）ｅｎｅＣ－３８ＤｇＷＢＤｕａｎＺＷＸｉＨ．Ｔｈｅｂｌｏｗｕｒａｔｅｆｏｒａｄｅｇｅｎｅｒａｔｅａｒａｂｏｌｉｃ，，ｐｐ［］ｅＪ－ｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈａｎｏｎｌｏｃａｌｓｏｕｒｃｅ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．ＡｐｐＬ２００１２目４２：５７７５９７．，［］（）ｅ－３９ＬｉｕｈｅｎＹＸｉＣＨ．Ｂｌｏｗｕｆｏｒａｄｅｅｎｅｒａｔｅａｒａｂｏｌｉｃｅｕａｔｉｏｎｗｉｔｈａ，，ｐｇｐｑ［］ＱＣｏｃａｓｏｕｒｃｅ－ｎｏｎｌｌＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａ２００３２８５２４．ｐｐＬ：８７５０５，［］（）２９ 南通大学硕±学位论文４０ｉｉ－巨ｒａｎｄｌｅＣｕｒｏｓＦｏｓｓＪＤ．Ｔｈｅｒｏｌｅｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｕｓｉｏｎｉｎｎｏｎ，，［］ＱＲ－ｉ－ｓＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｌ．２００５３０８１２１０４．ｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｂｌｏｗｕ：９ｐ，［］ｐｐ（）４１ＳｏｎＺｈｅｎＳ－－ｇＸ．巨ｌｏｗｎａｎａｌｓｉｓｆｏｒａｕａｓｉｌｉｎｅａｒａｒａｂｏｌｉｃｓｓｔｅｍｗｉｔｈｎｍｌｉ，ｇｐｙｑｐｙ［］ｃｏｕ－ｐｌｅｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓＪ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｐｐｌ．２００３２８１２：７３９７５目．，［］（）４２Ｇｕｏ巨ＧａｏＷ－－．Ｆｉｎｉｔｅｔｉｍｅｂｌｏｗｕａｎｄｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｒａｔｅｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏａｎｉｎｉｔｉａｌ，ｐ［］ｉｉ－－ＮｅｕｍａｎｎｒｏｂｌｅｍｎｖｏｌｖｎｔｈｅｘｔＬａｌａｃｅｏｅｒａｔｏｒａｎｄａｎｏｎｌｏｃａｌｔｅｒｍＪ．ｐｇｐ（，）ｐｐ［］－ＤｉｓｃａｎｄＣｏｎｔＤｓｔ．２０１６３６２．ｎａＳ：７巧７３０ｙｙ，（）３０ 作者在攻读硕±学位期间公开发表的论文及参加的项目Ａ．在国内外刊物上发表的论文一１－张海星陈玉娟史金蠢．类ｐＬａｌａｃｅ发展方程解的存在性．南通大学（），，ｐ阳２０１３１２３－学报：７０７７．（自然科学版），，（）－口郝瑞亚沈娟娟甘双龙陈浪．非局部源的ｐＬａｌａｃｅ发展方程解的）张海星，，，，ｐ－媳灭阳．应用数学进展２〇１４１１９１２６．，（巧，３张海星陈玉娟顾紫怡．含有梯度和非线性源的快速扩散方程解的媳灭闲．（），，２０１６巧１－南通大学学报自然科学版：６６７０．（），，（）（４）ＨａｉｘｉｎｇＺｈａｎｇ，ＹｕｊｕａｎＣｈｅｎ．Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｓｕｐｅｒｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｗ化ｈａｎｏｎｌｏｃａｌａｂｓｏｒｐｔｉｏｎａｎｄａｒａｄｉｅｎｔｓｏｕｒｃｅＪ．ＡｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｇ［］ｐｐＬｅｔｔｅｒｓ．已录用（）Ｂ．参加的项目１南通大学研究生科技创新计划项目ＹＫＣ１４０４１主持人．（）（）（）３１ 致谢转瞬间，研究生的时光就这样结束了，在这Ｈ年里，我跟随我的导师陈玉、．娟老师不仅学到了知识，也学会了生活在学习上，陈老师细屯教导我学习相关理论知识．，指导我书写文章和毕业论文在生活上，陈老师把我当成自己的孩子一、．样照顾着，关屯着，有时她会亲自下厨做饭，让我在学校体会到家的感觉在我遇到困难的时候，她都会给我提出宝贵的意见．在研究生Ｈ年里，我要感谢的人很多．，首先我要感谢我的导师，本文是在、．在这篇文章完成的过程中陈老师的悉屯指导下完成的，我遇到了许多问题，但、是不管是什么问题，陈老师总是很耐屯的给我讲解与纠正，每次都可Ｗ给我新的启发．在和陈老师学习期间，陈老师对待事情的严谨和认真的态度更值得我学习，现在每当遇到困难时，我总会沉下也慢慢思考分析问题所化另外在她身上，我学会了做人的道理Ｗ及对待生活乐观的态度，这将是永远的财富，必将为我Ｗ．后的生活工作带来很大的帮助，由衷的谢谢陈老师其次，我要感谢与我朝夕相处的舍友、同学，感谢你们在我遇到困难的时候、鼓励帮助我，在我不开屯的时候陪伴我，感谢我的亲人，培养我读完这Ｈ年研究生！，非常感谢最后，感谢南通大学提供的图书馆资源，感谢理学院所有老师教给我专业知一，学校为研究生专口开设了．识间办公室，为我提供了良好的学习环境我要把、我最衷屯的感谢与深深的敬意送给我的导师，，我的学校我的亲人，我的同学，非常感谢！感谢各位评委专家！３２