2013年高考理科数学 全国一卷 真题

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）6月7日15：00-17：00（新课标I卷）使用省份：河北、河南、山西、陕西注意事项：姓名______________________准考证号__________________________________1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ

2、卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合，，则（）（A）∅（B）（C）（D）（2）若复数满足（）（A）（B）（C）4（D）（3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）（A）简单的随机抽样（B）按

3、性别分层抽样（C）按学段分层抽样（D）系统抽样第13页共13页（4）已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）（A）（B）（C）（D）（5）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）（A）（B）（C）（D）（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）（A）（B）（C）（D）（7）设等差数列的前项和为，若，，，则（）（A）3（B）4（C）5（D）6第13页共13页（8）某几何体的三视图如图所示，

4、则该几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）（9）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则＝（）（A）5（B）6（C）7（D）8（10）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点。若的中点坐标为，则的方程为（）（A）（B）（C）（D）（11）已知函数，若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（12）设的三边长分别为,,，的面积为，……若＞，，，，，则（）（A）为递减数列（B）为递增数列（C）为递增数列，为递减数列（D）为递减数列，为递增数列第13页共13页第Ⅱ卷本卷包括必考题

5、和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知两个单位向量，的夹角为60°，.若=0，则=____________.（14）若数列的前项和为，则数列的通项公式是=____________.（15）设当时，函数取得最大值，则=____________.（16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为____________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）如图，在

6、中，＝90°，，，为内一点，＝90°（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若＝150°，求.第13页共13页（18）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，，，=60°.（Ⅰ）证明⊥;（Ⅱ）若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值。（19）（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质

7、品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望。第13页共13页（20）（本小题满分12分）已知圆：，圆：，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求.（21）（本小题满分12分）已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.（Ⅰ）求，，

8、，的值；（Ⅱ）若－2时，，求的取值范围.第13页共13页请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明