第16讲(竞赛选讲)因式分解之添项拆项,双十字相乘

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1、第16讲因式分解的方法—配方法和拆添项法知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。补充公式：A卷一、填空题1、分解因式：.（拆项法）2、分解因式：.（添项法）3、分解因式：.（添项法）4、（“希望杯”初二试题）分解因式：.5、（天津市竞赛试题）已知，则.6、（“希望杯”初二竞赛试题）已知，（），且，则或.（配方法）二、选择题7、（“五羊杯”竞赛试题）若x是自然数，设，则（）A、y一定是完全平方数B、存在有限个x，使y是完全平方数C、y一定不是完全平方数D、存在无限个x，使y是

2、完全平方数8、若a、b、c满足，则代数式的最大值是（）A、27B、18C、15D、12B卷一、填空题9、（全国联赛）已知，且，则.（配方法）10、整数a、b满足，则.（拆项法）11、正数a、b、c满足，则，，.8二、选择题12、（“五羊杯”竞赛试题）a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则三、解答题13、分解因式：（1）（2）（郑州市竞赛题）（拆项配方）（3）（拆项配方）（4）（重庆市竞赛题）（拆项配方）（5）（拆项配方法）（6）8C卷一、解答题14、（“希望杯”初二年级培训题）求最大正整数N，使得是是一个完全平方数。15、（全

3、国数学联赛）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。双十字相乘法例、分解因式小结：用双十字相乘法对多项式进行因式分解的步骤是：　　(1)用十字相乘法分解，得到一个十字相乘图(有两列)；　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．练习 分解因式：8(1)；　　(2)；　　(3)；(4)．双十字相乘法答案：例.(1)(2)(3)(4)8参考答案A组

4、1.答案：解析：原式提示：本题的关键是将拆为和.2.答案：解析：原式提示：本题的关键是将通过添加，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。3.答案：解析：原式提示：本题的关键是将通过添加，构造立方差公式，进而提取公因式分解。4.答案：解析：原式提示：本题的关键是将通过拆项，构造完全平方公式。（拆项法）5.答案：2解析：由题意得：，，提示：本题的关键是将通过拆项14，构造完全平方公式。（配方法）6.答案：解析：由故提示：本题的关键是将利用x、y的倒数关系代换，然后配方。7.答案：C8解析：提示：本题的关键是将拆项，然后利用提取公因式法分解即可。（拆项法）8.答案：A解析：原式由于

5、，故原式的最大值为27.提示：本题的关键是将利用解决问题。（配方法）9.答案：2解析：由已知变形得：故提示：本题的关键是展开整理配成完全平方式。10.答案：15解析：由等式变形得：，，故提示：本题的关键是将拆项进行因式分解求解。11.答案：，，解析：把已知式变形得：又∵∴即，，故，，提示：本题的关键是将拆项配成。（拆项法）12.答案：C解析：根据；8；由13.（1）解原式提示：本题的关键是通过添项构成完全平方式，进而利用平方差公式分解。（拆项法）（2）.解原式（3）.解原式（4）解原式（5）解原式（6）解：令，，则原式14.解：8当，即时，以上括号中的式子可成为完全平方式若，则即

6、在两个相邻自然数的平方之间，这是不可能的。因此，N的最大值为1002.15.解：由已知，，得：，而得或故每人捐款数为47元或25元。8