《3.1.2复数的几何意义》导学案5

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1、《3.1.2复数的几何意义》导学案5【课标要求】1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【核心扫描】1．利用复数的代数形式进行复数分类或考查两个复数相等是本节热点．2．常与方程、不等式、三角函数结合命题．3．多以选择、填空题的形式进行考查．自学导引1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝

2、a＋bi(a，b∈R)这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．想一想：复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？提示　不一定，只有当m∈R，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部．2．复数的分类(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：3．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.名师点睛1．数系的扩充与复数的概念(1)数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决

3、，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，为了解决这个问题，需要把数的范围作进一步的扩充，为此，人们引入一个新数i，叫虚数单位，且规定①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算；且原有的加、乘运算律仍成立．说明：复数集中不全是实数的两数不能比较大小，如i和0.若i>0，则i·i>0·i，即－1>0，不成立．若i<0，则i·i>0·i，即－1>0，不成立．(2)我们把集合C＝{a＋bi

4、a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数是数系扩充以后得到的另一种数，通常用字母z表

5、示．它与实数有本质的区别，但也有内在的联系：当b＝0时，z＝a为实数；当a＝0且b≠0时，z＝bi为纯虚数；当b≠0时，z＝a＋bi为虚数．2．两个复数相等的充要条件两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.题型一　关于复数的概念【例1】下列命题中，正确命题的个数是(　　)．①若x，y∈C，则x＋yi＝

6、1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3[思路探索]只需根据复数的有关概念判断即可．解析　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1的平方根为±i，故⑤错；当a＝－

7、1时，(a＋1)i是实数0，故⑥错；答案　A复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下几点：(1)a，b∈R，否则不是代数形式．(2)从代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数．反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．【变式1】已知下列命题：①复数a＋bi不是实数；②当z∈C时，z2≥0；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b

8、＝d.其中真命题的个数是________．解析　根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．答案　0题型二　复数相等的充要条件的应用【例2】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．[思路探索]先确定“＝”两边复数的实部和虚部，

9、然后列方程组求解．解　(1)∵x2－y