函数与导数及其应用

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1、第二章　函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x

2、∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些

4、问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成．[试一试]1471．(2013·苏锡常镇一调)已知常数t是负实数，则函数f(x)＝的定义域是________．解析：因为f(x)＝＝，则(－x＋3t)(x＋4t)≥0.又t<0，所以x∈[3t，－4t]．答案：[3t，－4t]2．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝则f(f(0))＝________.解析：因为f(0)＝30＝1，所以

5、f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.答案：0求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．[练一练]1．设g(x)＝2x＋3，g(

6、x＋2)＝f(x)，则f(x)等于________．解析：f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.答案：2x＋72．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________.解析：由题意得解得∴f(x)＝x2－4x＋3.答案：x2－4x＋3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号)①y＝x－1与y＝　②y＝与y＝③y＝4lgx与y＝2lgx2④y＝lgx－2与y＝lg答案：④147[类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否

7、相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．考点二函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一　求给定函数解析式的定义域1．(1)(2013·山东高考改编)函数f(x)＝＋的定义域为_____

8、___．(2)(2013·安徽高考)函数y＝ln＋的定义域为________．解析：(1)由题意，自变量x应满足解得，∴－3

9、(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)