《数列的概念》PPT课件

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1、数列的概念一、数列的概念1.定义按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数从函数的观点看数列,对于定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数来说,数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,其图象是无限个或有限个孤立的点.注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.二、数列的表示1.列举法2.图象法3.通项公式法若数列的每一项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达,即an=f(n),则an=f(n)叫做数列的通项公式.4.递推公式法如果已知数列

2、的第一项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做数列的递推公式.注:递推公式有两要素:递推关系与初始条件.三、数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列；2.按an的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；3.按

3、an

4、是否有界：有界数列和无界数列.四、数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an=ak;nk=1an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).五、数列的单调性设D是由连续的正整数构成的集合,若对于D中的每一个n都有an+1>an(或an+1

5、an}在D内单调递增(或单调递减).方法：作差、作商、函数求导.六、重要变换an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);an=a1….anan-1a2a1a3a2典型例题1.若数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则当n≥2时,{an}的通项an=.2.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a1

6、8的值为,这个数列的前n项和Sn的计算公式为.3.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n≥1),且a4=54,则a1的数值为.a1(3n-1)24.在数列{an}中,a1=,an+1-an=,求数列{an}的通项公式.124n2-11n!2an=324n-24n-3an=n为奇数时,Sn=n-;n为偶数时,Sn=n.1252525.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log2(1+Sn)=n+1,求数列{an}的通项公式.6.设数列{an}的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,3,…);数列{bn}满

7、足:b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,3,…).求数列{an}、{bn}的通项公式.3,n=1,2n,n≥2.an=an=2n-1bn=2n-1+27.设数列{an}的前n项和Sn=3n2-65n,求数列{

8、an

9、}的前n项和Tn.-3n2+65n,n≤11,3n2-65n+704,n≥12.Tn=8.已知数列{an}的通项an=(n+1)(),问是否存在正整数M,使得对任意正整数n都有an≤aM?n109∴当n<8时,an+1>an,{an}单调递增；当n>8时,an+1

10、=a9,即a1a10>a11>…,∴a8与a9是数列{an}的最大项.故存在M=8或9,使得an≤aM对n∈N+恒成立.解:∵an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n119119=()n.119108-n9.求使得不等式+++…+>2a-5对n∈N*恒成立的正整数a的最大值.13n+11n+11n+21n+3解:记f(n)=+++…+,考察f(n)的单调性.13n+11n+11n+21n+3∴f(n+1)>f(n),∵f(n+1)-f(n)=++-13n+213n+313n+

11、41n+1=+-13n+213n+423n+3=>0,2(3n+2)(3n+3)(3n+4)[评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决其它许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握求数列单调性的程序.∴当n=1时,f(n)有最小值f(1)=++=.1213141213要使题中不等式对n∈N*恒成立,只须2a-5<.1213∴正整数a的最大值是3.解得a<.2473课后练习1.根据下列数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,,-,,-,,…;3436321315(2)5,55,555,….an=(

12、-1)n2+(-1)nnan=555…5=(999…9)=(10n-1)n个59n个59(3)-1,7,-13,19,…;(4)7,77,777,7777,…;(5),,,,,…;236389910154356(6)5,0,-5,0,5,0,-5,0,….an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n(2n-1)(2n+1)an=5sin2