《过三点的圆》（冀教）基础知识精讲

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1、www.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.net过三点的圆【基础知识精讲】1.基本概念经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆.三角形的外接圆的圆心叫三角形的外心.三个顶点在圆上的三角形叫做这个圆的内接三角形.2.定理不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.反证法的基本步骤①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.【重点难点解析】本节的重点在于通过尺规作图理解不共线三点确立一个圆，掌握三角形的外接圆，外心以及圆内接三角形等概念，难点是运用反证法解题.例1已知，用圆规直尺找到的圆心解：①在上任取不

2、同的三点C、D、E②顺次连结C、D、E得△CDE③作△CDE的二边CD与DE的垂直平分线相交于点O，则点O即为的圆心.说明：此例中的圆心即为△www.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.netwww.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.netCDE的外心，而三角形的外心是其三边中垂线的交点，从而问题得以解决.例2已知直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm，求其外接圆半径解：∵其斜边长为：=10cm∴其外接圆半径为：×10=5cm说明：此题主要搞清直角三角形的外心就是斜边的中点，外接圆半径等于斜边的一半.例3求证：三角形中至少有一个角不大

3、于60°证明：假设△ABC的三个角均大于60°则∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾∴命题成立说明：运用反证法证题主要是在假设的基础上推出与已知或定理相矛盾的结论.本例就是推出一个与三角形内角和定理矛盾的结论.例4求证：六条边都等于1的凸六边形至少有一条对角线的长不大于.证明：假设存在一个边长为1的凸六边形ABCDEF，其每一条对角线之长均大于，如图7-7，作BM⊥AC，∵AB=BC=1，AC＞www.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.netwww.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.net

4、∴sin∠ABM=＞∴∠ABM＞60°,则∠ABC＞120°那此六边形的内角之和大于120°×6=720°这与六边形的内角和等于720°矛盾∴命题成立说明：命题的结论包含的情形较多，直接证明有些困难，而其反面“每条对角线之长大于”却只有一种情形，因此考虑用反证法.【难题巧解点拨】例1已知平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部.求证平面上任何一点都不会同时在此六个圆的内部.证明：已知六个圆⊙A1、⊙A2、⊙A3、⊙A4、⊙A5、⊙A6www.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.netwww.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.net，

5、其中每个圆的圆心都在其余各圆的外部，假设存在一点M，同时在此六个圆的内部.依题意，MA1小于⊙A1的半径，A1A2大于⊙A1的半径，∴A1A2＞MA1，同样有：A1A2＞A2M，考虑△MA1A2知：其最大内角为∠A1MA2，∴∠A1MA2＞60°同理可证：∠A2MA3，∠A3MA4，∠A4MA5，∠A5MA6，∠A6MA1均大于60°，则这六个角之和大于360°，由图7-8知这六角之和应等于360°，矛盾，所以原命题成立.说明：本例采用反证法、将问题转为三角形的内角，推出矛盾.例2设a、b、c是满足的正数，试证方程组=1①=1②有唯一实数解=1③证明：∵等边三角形内任一点到三边的距离

6、之和等于一边上的高，∴由此作一边长为1的正△ABC，在△ABC内必存在一点P，它到三边的距离依次为、、，如图7-9，取x1=PA2,y1=PB2,z1=PC2,则(x1，y1，z1)即为方程组的解.再由反证法证明唯一性，如(x2，y2，z2www.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.netwww.3edu.net教师助手学生帮手家长朋友www.3edu.net)也是原方程组的解，它与(x1，y1，z1)中至少有一个相对应的数不等，不妨x2≠x1，若x2＞x1,则＞，由方程③知：＜.于是y2＜y1，由方程③知z2＞z1,再由方程②知x2＜x1,这与x2＞x1矛盾.

7、同理若x2＜x1，也会导致矛盾，故x1=x2,同理y1=y2,z1=z2,所以原方程组只有唯一的实数解.【课本难题解答】作一个圆，使它们过已知点A和B、并且圆心在已知直线l上.(1)当直线l和AB斜交时，可作几个？(2)当直线l和AB垂直但不经过AB的中点时可作几个？(3)当直线l是线段AB的垂直平分线时，怎样呢？分析：所求的圆的圆心既在直线l上，又在线段AB的垂直平分线上.因此(1)可作一个圆；(2)不能作圆；(3)可作无数个圆.【知识探究学习】反证法是