【教学设计】《3.2 基本不等式与最大（小）值 》（北师大）

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1、高中数学北师大版（必修五）畅言教育◆教材分析《基本不等式与最大(小)值》本节的标题明确地说明了基本不等式的作用。从高考来看，基本不等式一直是个热点，它在不等式的证明和求最大(小)值的过程中有着广泛的应用，它作为一个工具，在电工学、力学、机械设计与制造等方面都有着广泛的应用。在本节教学过程中，要坚持协同创新的原则，把教材创新，教法创新以及学法创新有机地统一起来。教师创新的引导，学生创新的探究，才能营造一个有利于创新能力培养的良好环境。本节的中心任务就是巩固基本不等式的应用。本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。本节的新课标要

2、求是：会用基本不等式解决简单的最大(小)问题。从历年的高考来看，基本不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等。不等式的灵活证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点。题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点。◆教学目标【知识与能力目标】进一步掌握基本不等式(a＞0，b＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修五）畅言教育【过程与方法

3、目标】通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神。【情感态度价值观目标】通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。◆教学重难点◆【教学重点】用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题。【教学难点】基本不等式等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分

4、让学生回忆上节课我们探究的基本不等式：如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时等号成立)。在这个不等式中，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，这样基本不等式就有了几何意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。本节课我们进一步探究基本不等式的应用。由此展开新课。二、研探新知，建构概念例如：你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4cm的正方形；长5cm宽3cm的矩形；长6cm宽2cm的矩形……，你会发现边长为4cm的那个正方形的面积最大。这是因为：设矩形的长为xcm，宽为ycm，则x＋y＝8.

5、这时，由基本不等式，得，即xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立。由此可知，边长为4cm的那个正方形的面积最大。教师引导学生进一步探究，用类似上面的方法证明：在面积为16cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的那个正方形的周长最小。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修五）畅言教育这表明，x，y都为正数时，下面的命题成立：(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意：②x，y一定是正数；②求积xy

6、的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，看积xy是否为定值；③等号是否能够成立。[来以上三条我们习惯上简称为“一正、二定、三相等”。三、质疑答辩，发展思维例1设x，y为正实数，且2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值。活动：因为u＝lg(xy)，所以问题成为：已知x，y＞0,2x＋5y＝20，求xy的最大值。教师引导学生思考本例条件是否符合基本不等式的要求，同时提醒学生注意解答步骤。解：因为x＞y，y＞0，所以由基本不等式，得由于2x＋5y＝20，所以≤10，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号

7、成立，因此有解得x＝5，y＝2当x＝5，y＝2时，xy有最大值10这样　u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1所以，当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1变式训练1.设0＜x＜2，求函数f(x)＝的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出；若没有，请你说明理由。解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0.∴f(x)＝≤＝4，用心用情服务教育高中数学北师大版（必修五）畅言教育当且仅当3x＝8－3x，即x＝时取“＝”∴函数f(x)的最大值为4，

8、此时x＝又f(x)＝＝，∵当0＜x＜时，f(x)递增；当x＞时，f(x)递减，∴当0＜x＜时，原函数f(x)没有最大值。当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝来源:学。科。网]例2已知y＝x＋(x≠0)，证明：

9、y

10、≥2活动：教师点拨学生注意，本例中的x可正、可负．因此需要分类讨论