2019版高考数学大复习平面向量第30讲平面向量的平行与垂直学案理

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1、第30讲　平面向量的平行与垂直考试要求　1.掌握向量平行与向量垂直的充要条件(B级要求)；2.能应用向量平行与向量垂直的条件解决相关证明与应用问题(B级要求).诊断自测1.下面说法中正确的有________(填序号).①若a∥b，则存在λ∈R，使a＝b；②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b；③(必修4P82习题8改编)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，λ).若a∥b，则实数λ＝；④(必修4P81练习2改编)已知向量a＝(5，12)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则tanα＝；⑤(必修4P99本

2、章测试改编)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(3，－2)，若a⊥b，则x＝.解析　①当a≠0，b＝0时，b一定为0，故此时不存在∈R，使a＝λb；②当a＝0或b＝0时，x1x2＋y1y2＝0成立，但只有两非零向量的夹角为90°时，称为a⊥b；⑤由3x－2＝0得x应该为.答案　③④2.(2017·无锡高三上学期期末)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则m的值为________.解析　由a＝(2，1)，b＝(1，－1)，得a－b＝(1，2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因为a－b与ma＋b垂直，所以2m＋1＋

3、2(m－1)＝0，解得m＝.答案　3.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________.解析　因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.答案　4.(必修4P97复习题改编)已知向量a＝(－3，4)，向量b∥a，且

4、b

5、＝1，那么b＝________.解析　设b＝(x，y)，则由已知得解得或答

6、案　或5.(必修4P97复习题10改编)已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥(ka＋b)，则实数k＝________.解析　由已知，－2a＋b＝(7，－4)，ka＋b＝(－3k＋1，k－2)，而(－2a＋b)⊥(ka＋b)，故7(－3k＋1)＋(－4)(k－2)＝0，解得k＝.答案　知识梳理(1)两个向量平行的充要条件：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb；或a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)两个非零向量垂直的充要条件：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥

7、b⇔a·b＝0；或a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.考点一　向量的平行(共线)问题【例1】(1)(2015·全国卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.(2)(2018·南京一模)设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a∥b”是“tanθ＝”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析　(1)∵λa＋b与a＋2b平行，∴存在μ∈R，使(λa＋b)＝μ(a＋2b)，即λa＋b＝μa＋2μb，又a，b不平行，故解得λ＝.(2)由a∥b，得

8、sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ＝0或2sinθ＝cosθ，∴充分性不成立.由tanθ＝＝，得2sinθ＝cosθ，∴sin2θ－cos2θ＝0，∴a∥b，∴必要性成立.答案　(1)　(2)必要不充分规律方法　当两向量平行且没有出现坐标时，一般使用“a∥b且b≠0，则存在λ∈R，使a＝λb”解题；当两向量垂直且出现坐标时，一般先求出(或设出)两向量的坐标，使用“a⊥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0”解题.【训练1】设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解

9、　由已知得＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，当∥时，A，B，C三点共线；即(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝－2或11.∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.考点二　向量的垂直问题【例2】(2018·扬州中学月考)已知

10、a

11、＝3，

12、b

13、＝2，a与b的夹角为120°.(1)当k为何值时，ka－b与a－kb垂直？(2)当k为何值时，

14、ka－2b

15、取得最小值？并求出最小值.解　(1)∵ka－b与a－kb垂直，∴(ka－b)·(a－kb)＝0.∴ka2－k2a·b－b·a＋kb2＝0.∴9k－(k2＋1)×3×2·cos12

16、0°＋4k＝0.∴3k2＋13k＋3＝0.∴k＝.(2)∵

17、ka－2b

18、2＝k2a2－4ka·b＋4b2＝9k2－4k×3×2·cos120°＋4×4＝9k2＋12