（全国卷ⅲ）2019年高考数学压轴卷文

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（全国卷Ⅲ）2019年高考数学压轴卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（）A．B．C．D．2．设，则（）A．2B．3C．4D．53．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．20B．23C．24D．284．若，那么的值为（）A．B．C．D．5．设，满足约束条件，则的最大值是（）A．1B．16C．20D．226．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（） A．3B．4C．5D．68．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．9．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若，则实数（）A．2B．3C．4D．910．执行如图所示程序框图，输出的（）S＝S＋8开始否T>S？结束是S＝1，T=0,n=0n=＝0n＝n+2输出ST＝T+2nA．25B．9C．17D．2011．已知，分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点，使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________． 14．若，满足，则的最大值为______．15．设函数，若，则实数的取值范围是______．16．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，，则此球的表面积等于______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径，且，求的周长．18．(本小题满分12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由．附：参考公式：，其中．19．(本小题满分12分） 如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形，且平面．（1）求证：平面；（2）若，求多面体的体积．20．(本小题满分12分）已知椭圆经过点，且右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，当最大时，求直线的方程．21．(本小题满分12分）已知．求在处的切线方程；求证：当时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：．（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程； （2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标．（2）∵圆心到曲线：的距离，23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】若，，且．（1）求的最小值；（2）是否存在，，使得的值为？并说明理由．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】，故选C．2．【答案】B【解析】，则，故，故选B．3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故，解得，，故．故选D．4．【答案】D【解析】由题意可得，故选D．5.【答案】B【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示， 结合图象可知当平移到过点时，目标函数取得最大值，又由，解得，此时目标函数的最大值为，故选B．6．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径，高，所以该几何体的体积为，故选B．7．【解析】在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线有：，，，，共4条．故选B．8．【答案】B【解析】，，故，故选B．9．【答案】A【解析】如图所示，取圆上一点，过作圆的两条切线、，当时，，且，；，则实数．故选A．10．【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为，，；，，； ，，，退出循环，输出．故选C．11．【答案】A【解析】由题知，，，设椭圆的右顶点为，的面积为，∴的面积的最大值时为，，，∴，∴，故选A．12．【答案】B【解析】画出图像如下图所示，以，分别为，轴建立平面直角坐标系，故，，设，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为0，当时取得最小值为，故的取值范围是．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6． 14．【答案】【解析】由，满足，作出可行域如图，联立，解得，函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，的最大值为1．故答案为．15．【答案】【解析】如图所示：可得的图像与的交点分别为，，∴，则实数的取值范围是，可得答案．16．【答案】【解析】如图，在中，，，， 由勾股定理可得，可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，可得球半径，∴此球的表面积为．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，即，，又，．（2），，，∴由余弦定理可得，，∴，∵，所以得，∴周长．18．(本小题满分12分）【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人，按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为，女生被抽取的人数为，记4名男生分别为，，，，2名女生为，，则从这6名学生中抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为．（2）列联表为： 学习积极性高学习积极性不高总计参加文化活动18030210参加体育活动603090总计24060300，∴有的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关．19．(本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵是菱形，∴，又平面，平面，∴平面．又是正方形，∴．∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∴平面．（2）解：连接，记．∵是菱形，，且．由平面，平面，．∵平面，平面，，∴平面于，即为四棱锥的高．由是菱形，，则为等边三角形，由，则，，，， ．20．(本小题满分12分）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的左焦点，则，又，所以椭圆的方程为．（2）由，设，，由，且，，．设，则，，当，即时，有最大值，此时．21．(本小题满分12分）【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），故，故切线方程是．（2）令，，令，解得，令，解得，故在递减，在，故，故，∵，∴，故时，． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1），；（2），，．【解析】（1）由消去参数得，即曲线的普通方程为，又由得，即为，即曲线的平面直角坐标方程为．（2）∵圆心到曲线：的距离，如图所示，∴直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．∵，则，直线的倾斜角为，即点的极角为，∴点的极角为，点的极角为，∴三个点的极坐标为，，．23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）；（2）不存在，，使得的值为．【解析】（1），，，，，当且仅当时取等号，，．，，当且仅当时取等号．（2），，， ，不存在，，使得的值为．