《线性代数总复习J》PPT课件

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1、线性代数总复习第一章行列式二阶行列式的计算方法第一节n阶行列式的定义三阶行列式的计算方法——沙路法一些常用的行列式结果：1.2.3.4.kkkkmmmmbbbb**aaaaDLMMLLMMLLMML111111110=**1111mmmmaaaaLMML=.1111kkkkbbbbLMML行列式与它的转置行列式相等.性质1.1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质1.2式为零。推论1行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论2如果行列式中有一行(列)为零，那么行列第二节行列式的性质对换行列式的两行（列

2、）,行列式变号.性质1.3则此行列式为零.推论如果行列式有两行（列）完全相同，比例，那么行列式为零．性质1.4如果行列式中有两行（列）对应成如果行列式的某一行（列）的元素都是则D等于下列两个行列式之和：例如第i行的元素都是两数之和性质1.5两数之和，同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列把行列式的某一行（列）的各元素乘以性质1.6式不变．(倍加运算)计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．第三节行列式按行(列)展开数余子式的乘积，即引理一个n阶行列式，如果第i行所有元素除外都为零，与它的代那么这个

3、行列式等于定理1.3式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子行列式的某行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。式乘积之和等于零。行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念由个数称为m行n列矩阵,简称矩阵.定义2.1排成的m行n列的数表其中个数称为矩阵A的元素，数称为矩阵A的第i行第j列的元素.1.矩阵的基本概念加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘方阵的幂转置矩阵对称及反对陈矩阵方阵的行列式1.矩阵的基本运算：二、矩阵的运算2.矩阵的运算规律：加法：数乘：（其中为数）;乘

4、法：方阵的幂运算：（2）（1）注意：转置运算：由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成定义2.1称为方阵A的行列式，记作的行列式，3.方阵的行列式及其性质方阵的行列式满足下列规律：（2）（3）（设A、B为n阶方阵，为数）（1）.列标三、逆矩阵1.基本概念定义2.8对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩矩阵，或非奇异矩阵,记为说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.注意各元素aij的代数余子式Aij构成如下n阶方阵称为矩阵A的伴随矩阵.定义2.9设有n阶方阵由行列式中注意:伴随阵与原矩阵A元素位置的对应关系.定理2.

5、1设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则2.基本定理定理2.2设A为n阶方阵，则A可逆推论设A、B都是n阶方阵，3.可逆矩阵的性质利用定义（一般适用于证明题）(3)待定系数法(4)初等变换法:步骤如下4.逆矩阵的计算方法设方阵分块对角矩阵的性质则1.2.四、分块矩阵特殊地，如果是对角矩阵当且仅当都不为零时，是可逆矩阵，且矩阵的初等变换包括3种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换..列标五、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵定理2.3设A是一个非零矩阵，那么A一定可以通过有限次初等行变换化为行阶梯

6、形及行最简形，再进行初等列变换化为如下标准形：其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.定理2.4设A是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限定理2.5个初等矩阵六、矩阵的秩求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的最高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行

7、的行数就是矩阵的秩对于n阶方阵A，如果A的秩等于n，则称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.A为可逆矩阵.对于n阶方阵A，下列命题等价：(1)A为满秩矩阵；(2)(3)(4)第三章线性方程组()nAR=()nAR<有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组(1)无解(2)并且通解中有n-r个自由未知量.其中()()BRAR=有解:非齐次线性方程组的具体解法：(1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较以及n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。(2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线

8、性方程组进行求解。如果方