水动力学基础

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1、第二章水动力学基础　水动力学的任务是研究液体的机械运动规律及其工程应用。具体来讲，就是研究液体的运动要素（如速度、加速度等）随时间和空间的变化情况，以及建立这些运动要素之间的关系式，并利用这些关系式来解决工程上所遇到的实际问题。　第一节描述液体运动的两种方法一、拉格朗日法.运动要素(水力要素)指表示液体运动的各种物理量。运动要素不仅是空间坐标的函数，还是时间的函数，即拉格朗日（Lagrange）法就是把液体运动看作是无数质点运动的总和，以研究个别液体质点的运动为基础，通过研究足够多的液体质点的运动来掌握整个液流的运动情况。所以，这种方法又称为质点系法。取某一瞬时质点的位置坐标来代表该质点，则质

2、点的运动坐标既与质点的初始坐标有关，又与时间有关，即认为运动坐标是初始坐标与时间的函数，可以表示为：拉格朗日法在概念上并无新鲜之处，和以往所习惯使用的方法一样，因此，易于掌握。但由于液体的运动轨迹非常复杂，要寻求为数众多的单个质点的运动规律，除了较简单的情况外，将会在数学上导致难以克服的困难。况且从实用的观点来看，实际工程中并无必要了解液体质点运动的详尽过程，因此，这种方法在水力学上很少采用，仅在个别情况下，例如研究波浪运动和射流轨迹等问题时，才考虑应用该方法。在水力学中普遍采用的是欧拉法。二、欧拉法欧拉法就是把液体的运动看作是各个空间点上不同液体质点运动情况的总和。也就是说，在液体运动的空间

3、里取许多空间点，研究某一瞬时经过这些空间点的不同质点的运动情况（如流速、压强的变化等），所有这些质点的运动情况的总和就使我们掌握了这一瞬时整个液流的运动情况；如果研究很多瞬时，就能了解某一时段液流的运动情况。显然，这种研究方法并不注意液体质点的运动历程，即这些质点在来到该空间点以前和经过该空间点以后是如何运动的，而集中注意当质点流经该空间点时的运动情况。根据欧拉法的思想，在不同时刻有不同的液体质点经过同一空间点,它们的运动速度一般来讲是不同的，即对固定空间点而言，速度随时间t而变；在同一时刻t，处于不同空间点上的液体质点其速度一般来讲也是不同的，即对固定瞬时而言，速度是随着空间位置坐标而变的。

4、综上所述，速度应该是空间位置坐标和时间的函数，即，这是一个矢性函数，在应用上常写成投影式，其中的坐标变量称为欧拉变数。由复合函数求导数的方法，可得到流速对时间的导数即加速度：液体质点的加速度由二部分组成，一是液体质点通过固定空间点的速度对时间的变化率，称为当地加速度或时变加速度；.二是同一时刻由于空间位置的不同而引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度。最后必须说明，两种描述流动的方法只是看问题的角度不同，着眼点不同，并没有本质上或原则上的区别，拉格朗日表达法和欧拉表达法是可以相互转化的。究其原因，从物理概念上讲，流场是运动的液体质点占据整个流动区域构成的，因而流场空间点上反映出来的运动要素值

5、及其随时间的变化当然是质点运动的结果。换言之，流场中的流动情况自然也可反映或转化成质点的运动情况。这些就是上述两种方法可以转化的依据。不过，欧拉法的着眼点是流场，便于直接运用场论分析液流问题；而且对加速度来讲，在欧拉法中是速度场的一阶偏导数，但在拉格朗日法中是位移的二阶偏导数。因此，数学处理上欧拉法也较为方便，故今后除特别说明外，都采用欧拉法的观点研究问题。第二节液体运动的基本概念一、恒定流与非恒定流 恒定流与非恒定流是根据运动要素是否随时间变化来划分的。 恒定流是指流场中任一点处所有的运动要素不随时间而变化的流动，也称为稳定流、定常流。即。 非恒定流是指流场中任一点处有任何一个运动要素随时间

6、而变化的流动，也称为非稳定流、非定常流。在非恒定流条件下，其运动要素表达式为，，。二、迹线与流线迹线--------液体质点在运动的过程中不同时刻所占据的空间位置的连线，即轨迹线。流线--------某一瞬时在流场中绘出的一条空间曲线，在曲线上所有质点在该时刻的流速矢量都与该曲线相切。    流线的性质：①流线上任一点的切线方向代表该点的流速矢量方向。②同一瞬时的流线不能相交，也不能转折，只能是一条光滑的曲线。③恒定流时流线的形状不随时间改变，非恒定流时的流线随时间改变，即非恒定流的流线具有瞬时性，不同瞬时流线各不相同。④恒定流时流线与迹线相重合。⑤流线分布的疏密程度反映流速的大小，密则大，疏

7、则小。⑥流线的形状总是尽可能接近边界的形状。     从上述流线的性质可以理解到，流线是空间流速分布情况的形象化，它类似于电力线和磁力线。如果获得了某一瞬时许多流线，就了解了该瞬时整个液流的运动图景。三、流管   在水流中任意取一微分面积，通过该面积周界上的每一点均可作出一条流线，这无数条流线组成的封闭的管状曲面就称为流管。根据流线的性质，不难得到流管的性质：①恒定流时流管的形状不随时间改变，非恒