根轨迹绘制的基本原则

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1、4-2绘制根轨迹的基本法则法则1.根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。当K＊=0时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的极点。由可得：当K＊时，根轨迹方程退化为：此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的零点。同样由也可得：下面分三种情况讨论：1．m=n,即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2．m

2、还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际物理系统中不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。法则2.根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数m、开环有限极点数n中的大者相等，连续并对称于实轴。法则3.当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为,交点为的一组渐近线趋向无穷远处。根轨迹的渐进线可由下式而定：交点：交角：例：已知：试由已知规则，确定根轨迹的相关数据。解：按根轨迹绘制的规则：规则1，3个极点也是起点：0，-1，-2；无零点，则终点为无限零点：∞，∞，∞。规则2，分支数：n=3>m=0

3、，有3条根轨迹，对称于实轴。规则3，渐近线：因为本系统中，，所以共有n-m=3渐近线。渐近线的倾角：取k＝0，1，2，得到：渐近线与实轴的交点：ReIm0-2-11800600-600三条红色线为渐近线实轴上的根轨迹法则4.实轴上的某一区段，若其右边开环实数零点、极点个数之和为奇数，该区段必是条完整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分。[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、p4和一对共轭零点z1、z2。有3个试验点S1、S2、、S3先看试验点s1点，因为根轨迹应满足相角条件：（1)成对出现的共轭极点p3、p4和共轭零点z

4、1、z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；所以s1点满足根轨迹相角条件，而且S1点一直可以左移到P2处，于是[－p2,－p1]为实轴上的根轨迹。（2）试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；（3）试探点右边的极点p1对试探点构成向量的相角为180°；再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。同样s3点也不是根轨迹上的点。[例]设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。[解]：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。法则5.两条或两条以上根

5、轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点——根轨迹的分离点，分离点的坐标d是下列方程的解：实轴上的分离点有以下两个特点：(1)若实轴上两个相邻极点或两个相邻零点之间的区段有根轨迹,则这两相邻点之间必有一个分离点。这两个相邻的极点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点。（2）如果实轴上开环零点与开环极点之间有根轨迹，则此区段上要么没有分离点,如有,则不止一个。分离点[分离角]：在分离点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角。与相分离的根轨迹的支数k有关：例.设系统结构如图，试绘制其概略根轨迹。解：画出s面上的开环零点（-1），极点（0，-2，-3）。(1).实

6、轴上[-3，-2]，[-1，0]是根轨迹。(2).根轨迹有三条分支，分别始于0，-2，-3；终于-1和两个无限零点。有两条渐近线：(3).实轴上[-3，-2]内有一分离点d：所以分离点为：d-2.47该方程可化为d3＋4d2+5d+3=0其根为：-2.4656，-0.7672j0.7926按上述法则画出如右根轨迹图：-3-2-10d例.设单位反馈系统开环传递函数为：试绘制闭环系统根轨迹。解：在s平面上开环极点有两个：-1j，开环零点-2。(1).实轴(，-2]为根轨迹。(2).根轨迹有两条分支，始于-1+j和-1-j终于-2和。(3).在(，-2]

7、上有一分离点：即解得：（舍去），作出该系统的根轨迹如下图所示：-2--1+j-1-j-3.414复数根轨迹图在复平面上是圆的一部分实际上，在有两个极点（实数极点和复数极点）和一个有限零点组成的开环系统中，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当系数K*从零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，就是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。法则6：根轨迹的起始角与终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角；根轨迹进入复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角。1.起始角：其中：为零点到此极点连线与正实轴的夹角，为极

8、点到此极点连线与正实轴的夹角2.终止角