线性系统的能控性与能观测性

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1、第4章线性系统的能控性与能观测性本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。14.1能控性和能观测性的定义4.2线性连续系统的能控性判据4.3线性连续系统的能观测性判据4.5能控

2、规范型和能观测规范型第4章线性系统的能控性与能观测性4.4对偶性4.6连续时间线性时不变系统的结构分解24.1能控性和能观测性的定义一．能控性与能观测性的物理概念系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。能控性问题:已知某系统的的当前时刻及其状态,试问是否存在一个容许控制,使得系统在该控制的作用下于有限时间后到达某希望的待定状态?能观性问题:已知某系统及其在某时间段上的输入输出,试问可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态?3例4-1：给定系统的状态空间描述为结构图表明：通过控制量u可以控制状态x1和x2，所以系统

3、完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。图4-1系统结构图4二．能控性定义1．状态可控考虑n维线性时变系统的状态方程如果对取定初始时刻的一个非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻和一个无约束的容许控制u(t)，，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0，则称此x0是在时刻t0可控的.52．系统可控如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（）时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑n维线性时变系统的状态方程63．系统不完全可控对于线性时

4、变系统取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。74．状态可达与系统可达对于线性时变系统若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。8三．能观测性定义1．系统完全可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量的

5、初值x(t0)，则称系统在[t0,t1]内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系统在[t0,∞)内是完全可观测的。92．系统不可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定，则称系统在[t0,t1]内是不完全可观测的，简称不可观测。10线性定常系统为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。4.2线性连续系统的能控性判据(※)一、线性定常连续系统的可控性判据（※）1．格拉

6、姆矩阵判据注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。11证：充分性：已知W[0,t1]为非奇异，欲证系统为完全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0可构造控制u(t)为：则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:这表明：对任一取定的初始状态x0≠0，都存在有限时刻t1>0和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态x(t1)=0，根据定义可知系统为完全可控。12必要性：已知系统完全可控，欲证W(0,t1)非奇异。反设W(0,t1)为奇异，即存在某个非零向量，使其中

7、

8、·

9、

10、为范数，故其必为非负。欲使上式

11、成立，必有13因系统完全可控，根据定义对此非零向量应有0此结果与假设相矛盾，即W(0,t1)为奇异的反设不成立。因此，若系统完全可控，W(0,t1)必为非奇异。142秩判据线性定常系统为完全能控的充要条件是：能控判别阵能控性判据补充:秩判据线性定常系统为完全能控的充要条件是：其中:该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入系统，可减少不必要的计算。15证明：充分性：已知rankQ=n，欲证系统完全可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量α使将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=