绪论四统计推断：估计与假设检验

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1、统计推断：估计与假设检验§1、估计和假设检验：统计推断的两个孪生分支§2、参数估计§3、点估计量的性质§4、假设检验统计推断的含义:我们知道，总体是指我们所关注现象出现的可能结果的全体，样本是总体的一个子集。统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系。一般地说，统计推断是根据来自总体的样本对总体（概率密度函数）的种种统计特征作出判断。§1、估计和假设检验：统计推断的两个孪生分支统计推断的主要步骤（举例说明）：首先，关注某一总体，如纽约股票交易市场的1758支（90年9月4日）股票，想要研究该总体某一方面的统计特征，比如说股票价格

2、与收入比（P/E）的平均值。在总体中抽取随机样本，如50支股票，求样本中每一支股票的P/E值，然后再计算平均P/E值，即，就称为总体平均P/E的估计量（也即E(X)的估计量，E(X)为总体的一个参数）。从而完成统计推断的第一步：参数估计。其次，判断估计值的“优度”，主要因为估计值很可能不等于真实的参数值。如果有两个或更多个随机样本，计算这些样本的均值，则得到的估计值很可能不相同。我们把不同样本估计值的差异称为抽样误差，从而引入一些判定估计量优劣的常用标准。再次，进行假设检验。假设检验是统计推断的另一个重要方面。在假设检验中，可以对某

3、参数的假定值进行先验判断或预期。如以往的经验或专家意见支出1758值股票总体的平均P/E值为12，若随机样本计算出的值为11，则根据假设检验的内容接受假设或者拒绝假设。§2、参数估计点估计：假定随机变量X(P/E)服从某一未知均值和方差的正态分布。并且有来自该正态总体的一个随机样本（50个P/E值），见下表。如何根据这些样本数据计算总体的均值和方差呢？先假设只关注总体均值x=E(X)。根据表中数据，50个P/E的样本均值为11.4，显然我们可以选择11.4作为x的估计值，称这个单一数值为x的点估计值，称计算公式为x的点估计量

4、67891011121314151618P/E频数225657543461均值=11.5样本方差=9.2755样本标准差=3.0456中位数=众位数=11总计：50假设的样本（50值股票的P/E值）注意：点估计是一个随机变量，因为其值随样本的不同而不同，那么，某一特殊的估计值的可信度有多大呢？为了更好地估计总体特征，引入区间估计。区间估计：区间估计的主要思想源于估计量抽样分布（概率分布）的概念。我们知道，如果随机变量X~N(x,x²)，则，或若x²未知，可用其估计量S²来替代，则有：服从自由度为(n-1)的t分布。在上里中，由

5、50个样本观察值，故自由度为49。查t分布表得到：P(-2.0096≦t≦2.0096)=0.95即区间[-2.0096，2.0096]包括t的概率为95%。将t变量公式带入，经整理得：10.63≦x≦12.36，即为x的95%的置信区间。自由度为49的t分布2.5%95%2.5%02.0096-2.0096由计算式P(-2.0096≦t≦2.0096)=0.95可得出：整理得：在统计学中，上述公式称为未知的总体均值x的一个95%的置信区间。0.95称为置信系数。表示随机区间包括真实x的概率为0.95。区间下限区间上限需要特

6、别强调一点：上式给出的区间是随机的区间，它依赖于样本值的变化而变化，尽管总体均值x是未知的，但它是固定值，而非随机量。由此，我们不能说x位于上述区间的概率为0.95，只能说该区间包括真实的x的概率为0.95。归纳区间估计概念假定随机变量X服从某一概率分布，若要对其参数（如x）进行估计。选取容量为n的随机样本，X1，X2，…，Xn，并根据样本计算两个估计量L和U：P(L≦x≦U)=1-0<<1即从L到U的随机区间包括真实x的概率为(1-)。L称为区间下限，U称为区间上限。该区间称为x的置信区间。(1-)称为置信系

7、数，称为显著水平，或犯第一类错误的概率。§3、点估计量的性质在P/E一例中，用样本均值作为x的点估计量，满足了以下性质：⑴线性⑵无偏性⑶有效性⑷最优线性无偏估计量⑸一致性3.1线性线性估计量：若估计量是样本观察值的线性函数，则称该估计量是线性估计量。上式看出，样本均值是样本观察值Xs的线性函数，即Xs仅以一次幂的形式出现。3.2无偏性无偏估计量：如果重复使用某种方法，得到的估计量的均值（如E()）与真实参数值x一致，该估计量就是无偏估计量。即如果二者不相等，则称该估计量是有偏的估计量。例1：若Xi~N(x，²)，假定从该正

8、态总体中随机抽取容量为n的样本。则样本均值是真实x的无偏估计量。（参考样本均值的抽样分布或概率分布）。例2：若Xi~N(x，²)，假定从该正态总体中随机抽取容量为n的样本。Xmed表示样本中位数，可以证明E(Xmed)=x，即