行列式和矩阵学生自学

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1、行列式与矩阵Donotworryabouttomorrow,fortomorrowwillbringworriesofitsown.Today'stroubleisenoughfortoday.用消元法解二元线性方程组行列式的引入定义的引出方程组有唯一解为行列式的引入当时方程组有唯一解如果规定则有行列式的引入解所以行列式例三元线性方程组定义：线性方程组的一般形式称为系数行列式(1)二阶行列式定义解:例全排列引例:用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题，答案是：3!=6。123132213231312321定义:把n个不同的元

2、素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列)。n个不同的元素的所有排列的种数,通常用Pn表示,称为排列数。Pn=n(n–1)(n–2)···21=n!排列的逆序和逆序数定义：在一个排列i1i2···is···it···in中，若数is>it，则称这两个数组成一个逆序。例如:排列32514中，我们规定各元素之间有一个标准次序，以n个不同的自然数为例,规定由小到大为标准次序。32514逆序逆序逆序定义:一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，记为：三级排列的逆序和逆序数排列逆序逆序数排列的奇偶性123无0偶排列132321奇排列213211奇排列23121

3、，312偶排列31231，322偶排列32132，31，213奇排列排列的逆序和逆序数每一乘积项都是由n个元素组成，行标为自然排列，列标作全排列，代数和共有n!项每一项的符号由列标排列的逆序数所决定n个元素中任意两个元素都位于不同行不同列三阶行列式解：例三阶行列式行列式表示的是一个数n阶行列式是由n!项组成，且正号项和负号项各占一半一阶行列式

4、a

5、=a不要与绝对值记号相混淆n阶行列式注：行列式的性质1.行列式转置后，其值不变。2.互换行列式的两行(列)，行列式变号。推论：如果行列式D有两行(列)相同，则D=0。3.行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数K，等于用

6、数K乘此行列式。推论2：如果行列式D有一行(列)的元素全为零，则D=0推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0推论1：行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式符号的外面。定义1由个数排成的行列的数表,称为行列的矩阵,简称矩阵.记作:矩阵的定义m行n列矩阵是一个矩形的矩阵“数表”，行列式是在一个方形数表中根据定义规则进行运算的代数式，结果是一个数值。行列式n行n列，矩阵m行n列矩阵与行列式的区别行列式矩阵几种特殊形式的矩阵1.行矩阵与列矩阵2.同型矩阵与矩阵的相等两个矩阵行数相等、列数也相等时，称为同型矩阵。如果矩阵与矩阵是同型矩阵，且它们的

7、对应元素相等,即那么就称这两个矩阵相等.记作3.零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵.记作注意：不同型的零矩阵是不同的.或4.方阵行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵阶方阵的元素称为主对角线元素几种特殊形式的矩阵5.上(下)三角矩阵6.对角矩阵几种特殊形式的矩阵7.单位矩阵几种特殊形式的矩阵矩阵的运算矩阵的加法1.定义2.运算规律注：只有同型矩阵才可以加减3.负矩阵4.矩阵的减法例1矩阵的运算数与矩阵的乘法1.定义数与矩阵的乘积记作或规定为注：与为同型矩阵2.运算规律设求解:数与矩阵的乘法例矩阵与矩阵的乘法1.定义其中注意:设求解:记则设则:矩阵的乘法例注：矩阵的乘

8、法一般不满足交换律，即一般来说进行矩阵乘法时,一定要注意乘的次序，不能随意改变设求与.解:矩阵与矩阵的乘法例设求与解:注意:矩阵与矩阵的乘法例2.运算规律(假定运算都是可行的):(其中为数)(左分配律)(右分配律)矩阵与矩阵的乘法3.矩阵的幂为正整数.矩阵的幂满足下列运算规律:注:一般来说矩阵与矩阵的乘法线性方程组若设则其矩阵形式为：矩阵与矩阵的乘法例矩阵的转置1.定义设称为矩阵的转置矩阵。即把矩阵的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。2.运算规律(假定运算都是可行的):如矩阵的转置解：.矩阵的转置例3.定义设矩阵为阶方阵，如果满足即那么称为对称矩阵；如果满足即那么称

9、为反对称矩阵。注：(1)对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等；(2)反对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为轴对应互为相反数，且主对角线元素全为零。矩阵的转置方阵的行列式1.定义2.方阵的行列式满足的运算规律：3.奇异矩阵与非奇异矩阵逆矩阵逆矩阵的定义及性质定义设为阶方阵，若存在阶方阵，使，则称方阵可逆，称为的逆矩阵。注：1、计算行列式(1)2、若矩阵试求AB和BA作业(2)