第45届IMO预选题解答

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1、2005年第9期23第45届IMO预选题(上)李建泉译(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所,300074)直径,且垂直于直线l,点B比点A更靠近直代数部分线l.在圆Γ上任意取一点C(C≠A、B),直1.本届IMO第4题.线AC交直线l于点D,直线DE与圆Γ切2.已知无穷实数列a0,a1,a2,⋯满足条于点E,且点B、E在AC的同一侧.设BE交件an=

2、an+1-an+2

3、,n≥0,其中a0、a1是直线l于点F,AF交圆Γ于点G(G≠A).证两个不同的正数.问这个数列是否有界?明:点G关于AB的对称点在直线CF上.3.是否存在一个函数f:Q→{-1,1},使3.设点O

4、是锐角△ABC的外心,∠B<得如果x、y是两个不同的有理数,且满足xy∠C,直线AO交边BC于点D,△ABD、=1或x+y∈{0,1},则f(x)f(y)=-1?证△ACD的外心分别为点E、F.延长BA和明你的结论.CA,在延长线上分别取点G、H,使得AG=4.本届IMO第2题.AC,AH=AB.证明:四边形EFGH是矩形的5.设a、b、c>0,且ab+bc+ca=1.证充分必要条件是∠ACB-∠ABC=60°.明:不等式4.本届IMO第5题.3335.已知正n边形A1A2⋯An,定义点B1,1111+6b++6c++6a≤.abcabcB2,⋯,Bn-1如下:6.求所有函数

5、f:R→R,满足方程(1)如果i=1或i=n-1,则Bi是边222f(x+y+2f(xy))=(f(x+y)),AiAi+1的中点;其中x、y为任意实数.(2)如果i≠1,i≠n-1,Si是A1Ai+1和7.设a1,a2,⋯,an是正实数,n>1,用AnAi的交点,则Bi是∠AiSiAi+1的角平分线gn表示它们的几何平均.用A1,A2,⋯,An表与AiAi+1的交点.示的算术平均为证明:∠A1B1An+∠A1B2An+⋯+a1+a2+⋯+akAk=,k=1,2,⋯,n,∠A1Bn-1An=180°.k6.设P是一个凸多边形.证明:在P内用Gn表示A1,A2,⋯,An的几何平

6、均.证明:存在一个凸六边形,其面积至少是P的面积不等式3n的.Gngn4n+≤n+1,AnGn7.已知△ABC,点X是直线BC上的动并确定等号成立的条件.点,且点C在点B、X之间.又△ABX、△ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q.证明:PQ几何部分经过一个不依赖于点X的定点.1.本届IMO第1题.8.已知圆内接四边形ABCD,直线AD和2.设圆Γ和直线l不相交,AB是圆Γ的BC交于点E,且点C在点B、E之间.对角线24中等数学AC和BD交于点F.设点M是边CD的中点,由此,对于所有的n≥p,均有an≥ap+1.点N是△ABM的外接圆上的不同于M的于是,存在一个正常数c,使得

7、对于所有的n,有ANAMan≥c.最后可得点,且满足=.证明:点E、F、N在一BNBMap+k=Fk-1α+Fkβ≥α+β≥α+c.条直线上.这表明{an}是无界的.3.存在.参考答案a代数部分设x=是一个正实数,a、b是互质的正整数.b考虑对数对(a,b)使用辗转相除法得到的连续的剩1.本届IMO第4题.余构成的序列.设(umodv)表示u模v的最小非负2.这个数列无界.剩余,这个序列可写为显然,数列{an}的每一项都是非负的.r0=a,r1=b,r2=(amodb),⋯,若存在an=an+1=c,则an-1=0,an-2=an-3=ri+1=(ri-1modri),⋯,c

8、,⋯,最后得到的a0和a1要么都等于c,要么一个rn=1,rn+1=0.等于c,一个等于0.矛盾.最后一个非零剩余rn=1的下标n=n(x)是由所以,对所有的n≥0,an>0.n(x)x唯一确定的,记g(x)=(-1),它是由正实数由定义,对于n=0,1,2,⋯,有到{-1,1}的函数.定义f:Q→{-1,1}如下:an+1+an,an+2>an+1;an+2=g(x),x∈Q,x>0;an+1-an,an+2

9、第二个递推式中,则不可设x、y是不同的有理数.能是连续出现的,因为若x+y=0,不妨假设x>0,y<0.由定义可得an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,f(x)=g(x),f(y)=-g(-y)=-g(x).所以,an+3=-an<0.于是,f(x)f(y)=-1.矛盾.若xy=1,则x、y同号.如果ap+1=ap-ap-1和ap+k+1=ap+k-ap+k-1假设x=a>0,y=b>0,其中a、b是互质的ba是两个连续出现在第二个递推式中的表达式,则有正整数.不妨设a>b.由辗转相除