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1、22中等数学竞赛之窗第48届IMO预选题(一)李建泉译(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所,300387)42≡k+n1+1=2(mod4).数论部分kn≡而7-37-3≡0(mod4),矛盾.1.求所有的正整数对(k,n),使得因此,k和n同为偶数.kn42(7-3)
2、(k+n).设k=2a,n=2b.则2.设b、n是大于1的整数.若对每一个7a-3bkn2a2bab7-3=7-3=·2(7+3).大于1的正整数k,都存在一个整数ak,使得2nnabk
3、(b-ak),证明:存在整数A,使得b=A.7-3ab因和2(7+3)都为整数,所以,2
4、3.设X是由10000个整数构成的集合,abkn2(7+3)
5、(7-3).且集合中的每一个数都不是47的倍数.kn42又(7-3)
6、(k+n),即证明:存在X的2007元子集Y,使得对于任kn42(7-3)
7、2(8a+2b),意的a、b、c、d、e∈Y,均有ab≤842则7+3a+2b.478(a-b+c-d+e).用数学归纳法证明:4.对于每个整数k(k≥2),证明:4akk-1当a≥4时,8a<7;3k222‖(C2k+1-C2k).2b当b≥1时,2b<3;5.求所有的满射的函数f:N+→N+,使2b当b≥3时,2b+9≤3.得对任意的m、n∈N
8、+和任意的质数p,显然,当a=4时,有f(m+n)可以被p整除当且仅当f(m)+448×4=2048<7=2401.f(n)可以被p整除.假设8a4<7a(a≥4),则226.已知k∈N+.证明:(4k-1)有一个444a+18(a+1)=8a形如8kn-1的正因数当且仅当k是偶数.a47.对于一个质数p和一个正整数n,a5a625a+1<7=7·<7.设Vp(n)表示n!的质因数分解中质数p的425621当b=1时,有2×1=2<3=3;次数.已知正整数d和一个有限的质数集22当b=2时,有2×2=8<9=3.{p1,p2,⋯,pt}.证明:有无穷多
9、个正整数n,2b假设2b<3(b≥2),则使得对于所有的i(1≤i≤k),有d
10、Vp(n).i222(b+1)=2b+2×2b+2222bb+1参考答案<2b+2b+2b<3×3=3.23当b=3时,有2×3+9=27=3.1.(2,4).2b假设2b+9≤3(b≥3),则假设正整数对(k,n)满足条件.222b+1因为7k-3n是偶数,所以,k4+n2也是2(b+1)+9<(2b+9)b偶数.于是,k和n有相同的奇偶性.2≤3b4=3b·16<3b+1.若k和n同为奇数,所以,392008年第8期23α其中用此结论也可以证明:这表明pi‖an.从而,
11、α是n的倍数.kii2b当b≥3时,2b<3.3.如果对于任意的a、b、c、d、e∈M,均对于a≥4,b≥1,得有478(a-b+c-d+e),则称这个整数集ab427+3>8a+2b.合M是“好的”.上式不可能成立,因此,a≤3.考虑集合(1)当a=1时,k=2.J={-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9}.2≥b2b由8+2b7+3,得2b+1≥3.这只下面证明:J是好的.可能在b≤2时成立.实际上,对于任意的a、b、c、d、e∈J,数4242k+n2+21a-b+c-d+e为奇数,且若b=1,则n=2,kn=22=7-37-32-45
12、=(-9)-9+(-9)-9+(-9)不是整数.≤a-b+c-d+e若b=2,则n=4,≤9-(-9)+9-(-9)+9=45.4242k+n2+4kn=24=-1.故478(a-b+c-d+e).7-37-3对于任意的k=1,2,⋯,46,考虑集合所以,(k,n)=(2,4)是一个解.Ak={x∈X
13、存在j∈J,使kx≡j(mod47)}.(2)当a=2时,k=4.则k4+n2=256+4b2如果Ak不是好的,则存在a、b、c、d、e≥
14、74-3n
15、=
16、49-3b
17、(49+3b).∈Ak,使得47
18、(a-b+c-d+e).于是,由于
19、49-3b
20、的最
21、小值为22,且当b=347
22、(ka-kb+kc-kd+ke).2≥11(49+3b因此,集合J中包含5个模47的剩余,时取到,因此,128+2b),这与b2使得J不是好的,矛盾.3>2b矛盾.(3)当a=3时,k=6.则所以,Ak是X的好的子集.k4+n2=1296+4b2只要证明存在一个整数k,使得6nbb
23、A≥
24、7-3
25、=
26、343-3
27、(343+3).k
28、≥2007.类似地,由于
29、343-3b
30、≥100,且当b=5对于每个x∈X,由于478x,因此,x,2x,2≥25(343+3b⋯,46x构成模47的一个简化剩余系.于是,时取到,因此,324+b
31、),矛盾.共有10项分别与J中的元素模47同余.所综上所述,满足条件的解为(2,4).以,每个
