平稳过程5-平稳过程的谱分解

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1、5.5平稳过程的谱分解主讲人：李伟西安电子科技大学数学与统计学院2013年秋季一一、一、、平稳过程、平稳过程相关函数的谱分解1.相关函数的谱分解定理1(维纳-辛钦定理)设{X(t),-∞0，则令XR()tXf()t=R(0)X∵R(

2、)t连续，非负定.X则f()t连续，f()t非负定，且f(0)1=.f()t是某个r.v.W的特征函数，即存在分布函数G(),s.t.wRX()tjW+¥j()=E[t]tw()ft=e=∫edGwR(0)-¥X+¥jtwR()t=R(0)edG()wXX∫-¥1+¥jtw=ed(2pR(0)()Gw)∫X2p-¥取F()w=2pR(0)()GwXX1+¥jwt即得R（）t=edF(),w-¥<<+¥tX∫X-¥2p容易验证F(w)=2pR(0)G(w)满足定理中各条件.XX称函数FX(ωω)ω)))为平稳过程{X(t),-∞

3、..1+¥jwt称R（t）=edF()w,-¥<<¥t+X∫X2p-¥为平稳过程{X(t),-∞

4、的谱分解式比较tX1+¥jwtR（）t=edF()w,-¥<<+¥tX∫X2p-¥F¢()w=S().wXX对离散参数集上的平稳时间序列,有相类似的结果.定理3设{Xn,n=0,±1,±2,…}是平稳时间序列,则其相关函数可以表示为1+pjmRmewdF(),m0,1,（）=w=±⋯()*X∫X2p-p其中F（）w是在[-,+]上非负pp，有界，单调不减，X右连续.且F（-），p=0F（+）p=2pR（）0XXX称FX(ω)为平稳时间序列{Xn,n=0,±1,…}的谱函数.称()*式为平稳时间序列相关函数的谱展开式,或谱分解式.谱密度S(ω)和谱函数的

5、有关系XF()wSd,w=（）ll-p£w£pX∫X-p例5.5.1设{X(t),-∞0,X求{X(t),-∞

6、<+∞}是平稳过程.+¥1+¥jwtjwtRtt(,+t)=edF()w=ed(2pF())wZ∫∫-¥2p-¥F()w=2pF()wZ二二、二、平稳过程的谱分解回顾：对确定信号x(t),满足Dirichlet条件且绝对可积,则x(t)存在频谱:+¥-jtwF()w=extdt()x∫-¥1+¥jtw则xt()=eF()wdt∫-¥x2p说明x(t)可分解为一些复谐波的无限叠加本节将给出在很一般的条件下平稳过程也可以表示为无穷多个复谐波的叠加.不失一般性,本节总假定mX=0定理1(复平稳过程的谱分解)设{X(t),-∞

7、过程,其谱函数为FX(ω),则X(t)可以表示为+¥jtwXt()=∫edZ(),w-¥<<+¥t-¥其中-jtw1Te-1Z()w=l.i.m∫Xtdt(),-¥

8、¥T®+¥-T将[-T，T]等分为2N个子区间，由均方积分定义NkjtTkT(k