机械CAD-CAM(第7章)-自由曲线和自由曲面

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1、《机械CAD/CAM》第七章曲线和曲面的数学表达¢曲线和曲面的数学表达方法：23自由曲线和自由曲面¢显式表达：如y=a0+a1x+a2x+a3x3223¢隐式表达：如a1x+a2xy+a3xy+a4y=0¢参数表达：如P(t)=[x(t),y(t),z(t)]机电工程学院CIMS应用研究中心张宇Email:zhangyu@public.km.yn.cnP(t)P(u,v)2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇2曲线和曲面的数学表达几个基本术语¢为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？¢点：¢所描述的

2、曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。¢构造曲线/曲面的最基本的几何元素。¢参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分¢常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的¢插值：曲线/曲面扩展到高维空间。¢函数逼近的重要方法。¢采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程¢插值要求严格通过预先给定的各个型值点。序处理时不会因此而中断计算。¢逼近：¢规格化的参数变量t∈[0，1]，使其相应的几何分量是有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。¢寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。¢

3、逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型¢有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。值点的最佳逼近。¢易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。¢最小二乘法是最常用的逼近方法。2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇32011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇4插值与逼近几个基本术语¢光顺：给定的型值点¢使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。f(x)¢相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇插值异点、曲率变化较小。插值点¢几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。¢零阶连

4、续：边界重合。¢一阶连续：一阶导数连续，即切线矢量连续。g(x)¢二阶连续：二阶导数连续，即曲率连续。¢拟合：逼近给定的型值点¢在曲线和曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇52011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇61曲面的光顺¢曲面的光顺的要求：22¢曲线和曲面具有G或C连续，无多余拐点，曲率变化均匀。¢行业上的特殊要求。¢曲面

5、的光顺的方法：¢使用不同的目标函数以及每次调整型值点的数量。-最小二乘法-能量法-回弹法-基样条法-圆率法-磨光法2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇72011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇8曲面的光顺曲线的矢量方程和参数方程¢曲线的矢量方程和参数方程：光顺前¢空间曲线是空间一点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢端曲线。¢矢量方程为：zr=r(t)=[x(t)y(t)z(t)]R¢其参数方程为:x=x(t)A光顺后y=y(t),t∈[t0,tn]QyOz=z(t)Px2011

6、-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇92011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇10矢量方程和参数方程矢函数的导矢¢例：空间螺旋线的矢量方程和参数方程¢当参数t变为t+rt时，矢函数r(t)对应的位置由OM变为¢设动点M沿圆柱右螺旋线运动，M点作圆周运动的转动角速度OM，MM对应的矢量差为：为ω，沿z轴作直线运动的线速度为v，运动的时间为t，圆柱11的半径为a，总长度为L。M(t)r’(t)rr(t)=r(t+rt)-r(t)z矢量OM的端点轨迹即为空间螺旋线。矢端曲线的)rr(t其变化率为

7、：ω(t)M1(t)矢量方程为：rrr(t)r(t+rt)-r(t)ar(t)=OM=ON+NMt)rr/r——=——————Or(t+rtrtrt因为：ON=ON’+N’N=acosωti+asinωtj;NM=vtk所以：r(t)=acosωti+asinωtj+vtkL设r(t)=[x(t),y(t),z(t)]，当rtû0时，即得到r(t)的导矢：=[acosωtasinωtvt]M其参数方程为：r’(t)=[x’(t)y’(t)z’(t)]ON’yx=acosωt导矢的模为：NM0y=asinωt，t∈[0,L

8、/v]’’2’2’2xz=vt

9、r(t)

10、=[x(t)]+[y(t)]+[z(t)]2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇112011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心张宇122导矢的运算法则导矢的应用’例：导矢在飞机外形数学模型建立中的应用¢C=0（C为常矢）’’’设曲线方程为r(t