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1、江苏高考数学压轴题之数列解题思想与方法数列及其通项例1设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=．分析本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到一般).也可化简递推式,从而求得通项公式.解法一：由条件,可得,,,(负值舍去)由此可猜想.解法二：由,可得因为,所以故只有,即所以…=链接①形如的递归式,其通项公式求法为：②形如的递归式,其通项公式求法为：例2.已知an=(n∈N*)，则在数列{an}的前20项中，最大项和最小项分别是()A.a9,a8.B.a10,a9
2、.C.a8,a9.A.a9,a10.分析因为an=1+所以a1,a2,…,a9组成递减数列，a1最大，a10最小;a10,a11,…,a20组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算a1＜a10,a9＜a20.所以在数列{an}前20项中，最大项为a10，最小项为a9，故选B.说明要确定数列{an}的最大项和最小项，一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察.等差数列与等比数列例1.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数都有成立.
3、【答案】解：（I）当时，由，即。又。（II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取=1，2,得第15页共15页江苏高考数学压轴题之数列解题思想与方法。解得。若成立；若故所得数列不符合题意。若；若。综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{an}:an=0，即0，0，0，…；②{an}:an=1，即1，1，1，…；③{an}:an=2n－1，即1，3，5，…。【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得。（Ⅱ）设数列{an}的公差为d，在Sn2=(Sn)2中分别取=1，2求
4、得，代入到前n项的和中分别求得d，进而对和d进行验证，最后综合求得答案。例2ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),（Ⅰ）求及;（Ⅱ）证明(Ⅲ)若记证明是等比数列．分析本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力．利用图形及递推关系即可解决此类问题．解(Ⅰ)因为，第15页共15页江苏高考数学压轴题之数列解题思
5、想与方法所以，又由题意可知∴==∴为常数列．∴(Ⅱ)将等式两边除以2，得又∵,∴（Ⅲ）∵==又∵∴是公比为的等比数列．说明本题符号较多，有点列{Pn}，同时还有三个数列{an}，{yn}，{bn}，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．例3．设数列的前项和为，已知，且，其中A.B为常数⑴求A与B的值；（2分）⑵证明：数列为等差数列；（6分）⑶
6、证明：不等式对任何正整数都成立（6分）【答案】解：（1）由已知，得，，，由，知，即，解得。（2）由（1）得①∴②第15页共15页江苏高考数学压轴题之数列解题思想与方法②－①得，③∴④④－③得。∵，∴。∵，∴。∴，。又∵，∴数列为等差数列。（3）由（2）可知，，要证，只要证。因为，，故只要证，即只要证。因为，由于以上过程是可逆的，所以命题得证。【考点】数列的应用。【分析】（1）由题意知，从而解得A=－20，B=－8。（2）由（Ⅰ）得，所以在式中令，可得．由此入手能够推出数列{an}为等差数列。（3）由（2）可知，，然后用分析法可以使命题
7、得证。例4.已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）第15页共15页江苏高考数学压轴题之数列解题思想与方法（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）【答案】解：设的公差为，由，知，（）（1）证：∵，∴，。∴。（2）证：∵，且，∴解得，或，但，∴。∵是正整数，∴是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，现在只要证明存
8、在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。∵，∴。若，则，那么。当时，∵，只要考虑的情况，∵，∴，∴是正整数。∴是正整数。∴数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2。第15页
