《分段低次插值法》PPT课件

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1、2.5分段低次插值法一、高次插值的龙格(Runge)现象(插值过程的收敛性问题)问题:所构造的插值多项式作为近似函数,是否的次数愈高,逼近的效果愈好,即利用高次插值多项式的危险性,在20世纪初被Runge发现.1例子.并作图比较.解:2不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)3在-2,2上L10(x)对f(x)逼近较好,但在端点附近很差.可以证明即随着n的增

2、长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高次代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪初由Runge发现.这表明:并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高.结论:不适宜在大范围使用高次代数插值.4解决办法:分段低次插值;分段光滑插值;若从舍入误差分析,知当n>7时,舍入误差亦会增大.可知,Runge现象是由f(x)的高阶导数无界所致.5分段低次插值6二、分段线性Lagrange插值构造Lagrange线性插值1.分段线性插值的构造7--------(1)--

3、------(2)显然,当时或者通过分段插值基函数的线性组合来表示:8其中且9也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则10由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为2.分段线性插值的误差估计11定理12三、分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式13其中我们称为分段三次Hermite插值多项式，其余项为14例2.比较几种插值.我们分别用分段二次、三次Lagrange插值和分段两点三次Hermite插值作比较

4、解:即15f(x)0.800000.307690.137930.075470.04160H3(x)0.812500.307500.137500.075370.04159x0.51.52.53.54.8R3(x)=f(x)-H3(x)-0.012500000000000.000192307692310.000431034482760.000099725794870.00001047427455L2(x)0.875000.325000.125000.072060.04087L3(x)0.800000.3250

5、00.133820.074430.0426916分段低次插值的特点:计算较容易可以解决Runge现象,可保证收敛性但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点,不可导优点:缺点:17