微分方程模型二 最优捕鱼策略

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1、成都信息工程学院>>精品课程>>微分方程数值解微分方程模型二最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，……，４龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年

2、的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的８个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。１）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。２）某渔

3、业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。1成都信息工程学院>>精品课程>>微分方程数值解一、符号说明nt()：t时刻i龄鱼的数量；ikn：第k年底i龄鱼的数量；i1kn：第k年初i龄鱼的数量；i0m：第i年龄鱼的平均重量；ir：自然死亡率；c：4龄鱼的平均产卵量；()kQ：第k年度的产卵总量(单位：个)；β：对i龄鱼的捕捞强度系数；iα：对i龄鱼的年捕捞量；iM：年总数收获量；MM：5年

4、的总收获量。二、模型的建立(一)基本模型首先建立基本模型，对鱼群的基本变化和每年的捕捞量进行描述，因为不捕捞1，2龄鱼，有⎧dnti()⎪=−rni−rt⎨dt,1i=,2得nnei==,1,2ii0⎪nn(0)=⎩ii0对3，4龄鱼，有⎧dnti()22⎪=−rnii−Ht()−βni−+−[()rHtβi]t⎨dt3,3i=,4得nne==3,3i,4ii0⎪nn(0)=⎩ii0⎧21,t<2⎪⎪3其中，Ht()−=⎨3⎪0,t≥2⎪⎩32成都信息工程学院>>精品课程>>微分方程数值解()k(0)令n为i龄鱼在第k年底时的数目，n为i龄鱼在第k年初的数目，得i1i1()k

5、k()−r⎧nn=e1110⎪()kk()−rnn=e⎪2120⎪2(1)⎨()kk()−−r3β3⎪nn=e3130⎪2−−rβ4()kk()3⎪⎩nn=e41404月到年底，第i龄鱼全部转化为(i+1)龄鱼(i=1,2,3),同时由乳化产生1龄鱼，得()kk(1)−⎧nn=2011⎪()kk(1)−nn=⎪3021⎪()kkk(1)−(1)−(2)⎨nnn=+403141⎪(1k−)⎪n()k=DQ×10(1k−)⎪⎩DQ+11(k−1)其中D=×1.2210,Q为k-1年的总产卵量。22(kk−−1)11(1)(k−1)(k−1)−−33β34(k−1)βQ=+=∫23

6、(n34nc)dt28553.4ne30+57106.8ne30(3)32此外，可以求得每年对3，4龄鱼的总捕捞重量为2223m33β⎡⎤⎡⎤−+33()rrββ34()kkm44β−+()()M=+=mntmntdtβ()()⎢⎥⎢⎥1−+en1−=enmama+(4)∫33344303033440rr++ββ⎣⎦⎣⎦34其中22β3⎡⎤−+33()rrββ34()kkβ4⎡−+()⎤()ae33=−⎢⎥1,n0ae4=−⎢1⎥n30rr++ββ⎣⎦⎣34⎦(1)-(3)式联立刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况，(4)式是每年的捕捞强度系数下的总收获重量，它们一起构成了我们的

7、基本模型。3