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1、第24卷第5期统计与信息论坛2009年5月Vol.24No.5Statistics&InformationForumMay,2009【统计理论与方法】对高斯分布函数形式的推导尉迟江(江西财经大学统计学院,江西南昌330013)摘要:高斯分布是统计理论中最重要的分布形式,其密度函数具有较为复杂的形式。尽管密度函数形式的获得过程本身包含着大量的统计学基本思想,对之有一个详尽的了解将大大有益于对统计学其它理论的了解,但是其推导过程却很难见于一般的统计学著作或教科书。鉴此,搜集各种所能获取的资料,在吸收其框架性思想的基础上,运用所了解的数学知识进行推证,将其还原于大众,以期对此问题感兴趣者有所裨益。关
2、键词:高斯分布;密度函数;推证中图分类号:O212文献标志码:A文章编号:1007-3116(2009)05-0003-04事实上,本人自本科时代初次接触它起就曾经长时一、引言间陷入对这一问题的思考,久久地得不出结论。其众所周知,高斯分布(也称正态分布)是数理统实原本也以为这根本不是什么问题,日后有机会找计理论中最为重要的分布形式。中心极限定理揭到一本有关著作看一下就是,但后来才发现,要找到示:任何分布的抽样分布当样本量足够大时,其渐近一本这样的著作相当困难。另一方面,随着自己进分布都是高斯分布。这一结果在统计理论的研究历入统计理论的教学和科研工作,这一问题渐渐成了史中具有里程碑式的意义,从此
3、数理统计的实践工不可回避的问题,读史才能鉴今,对它知其然不知其作具有了坚实的理论基础。高斯分布密度函数的函所以然的了解状况严重影响着自己对其它统计理论数形式由德国著名的天才数学家、统计学家、物理学的理解深度。显然,这应该是一个有关统计史方面家和天文学家高斯推导出。高斯一生中所取得的科的问题,但是,多少年来,网上搜索中国最权威的学学成就无数,但是,在欧元出现前的德国马克10马术文献库“中国知网”和国外著名的学术文献全文数克纸币上,不仅印有高斯的头像,更印有高斯分布N据库“Springer”“、WorldScientific”等,竟然发现从来2(μσ,)的密度曲线。这传达出一种强烈的信息:在没有人
4、提供这方面的证明材料。在中国最大的网上高斯的一切科学贡献中,其对人类文明影响最大者,图书馆“超星图书馆”的搜索引擎中输入关键词“统就数这一项。计史”,也从没有发现一本该方面的著作。加之身边高斯的伟大成果令无数人为之折服,但是,由于的同事、学生也无数次表达出同样的困惑,于是久远其推导过程用到较多数学理论,虽不能说特别深,却的兴趣被再次激起,使本人下定了决心:一定要将该也足以令不少数学基础薄弱者感到难以理解。另问题深究下去,直至其水落石出!事实上,对这一问外,其所用到的统计学思想不是从传统的思维角度题的探讨,其实际意义远不止于对该理论本身的掌出发,具有很大的创造性,这使得其详细的推导过程握,更在于
5、对高斯核心统计思想的深刻领会,学习他相当不易见于一般的统计学著作,更完全不见于普与众不同的研究视角和研究手段,具有极高的理论通的统计学教科书。于是,许许多多的人对之感到价值。深深的困惑;如此并不常见的函数形式高斯本人究如前所述,要找出这一问题的详细探讨过程委竟是源于什么思路想到,又是利用什么方法导出?实不易。有关统计方面的纯理论研究就已经偏少,收稿日期:2008-10-25作者简介:尉迟江(1965-),男,江西抚州人,副教授,研究方向:数理统计、经济统计。3统计与信息论坛统计史方面的研究则少之又少。对于如此基本的问{xn}(n=1,2,3,⋯)使得该数列趋于x,即:题,国外所能找到的资料由于
6、没有发现有正面阐述limxn=xn→∞者,因而大都语焉不详、一笔带过。几费周折后获得由于g(x)具有一阶连续导函数,于是对其求唯一的参考资料是国内陈希孺院士所著的《数理统积分与求极限运算可交换,可得:计学简史》,其中叙述相对详细,却也不过区区三、两g′(x)=g′(limxn)=limg′(xn)n→∞n→∞百字而已,且重在介绍其思想的来源,仅仅是在附注=limg′(1)=g′(1)中给出部分框架性论证,核心推导处着笔寥寥,不少n→∞这样对全体实数x均有:g′(x)=g′(1)较重要的细节被跳过,所得结论看后让人不胜思揣。令g′(1)=c,利用条件(1),对上式两边求不定尽管如此,笔者仍然对之
7、视若珍宝,再结合其他所能积分得:g(x)=cx获得的有限资料,慢慢地得以将高斯的主要思想进证毕。行梳理、汇总,然后利用自己的数理知识对所有中间2-x环节作详尽的推证,虽从未看见高斯本人的推导,但引理3函数e在整个实数域上的积分值为∞2自认为已经能将之完全复原了。今展现于此,以飨π,即:∫e-xdx=π-∞所有对此问题有兴趣者。设D表示平面直角坐标系中的第一象限,即:二、预备知识D=[0,+∞)×[
