世纪金榜理科数学(广东(I)

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1、第十一节导数在研究函数中的应用考纲考情广东五年4考　　高考指数:★★★★☆1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)五年考题2013T212012T212011T122009T20考情播报1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围、证明

2、不等式等问题是高考命题的热点2.常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题,主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用3.题型主要以解答题为主,属中高档题【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系增函数常量函数减函数2.函数的极值与导数(1)极值的概念f(x)＜f(x0)极大值点f(x)＞f(x0)极小值点(2)利用导数求极值的步骤①求导数f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果__

3、_______(左增右减),那么f(x)在这个根处取得_______,如果_________(左减右增),那么f(x)在这个根处取得_______.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.④得极值,由表得极大值与极小值.左正右负极大值左负右正极小值3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_____.(2)将函数y=f(x)的各_____与端点处的________________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数f(x)在[a,b]上的最

4、值.极值极值函数值f(a),f(b)【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件;②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的;③函数的极大值不一定比极小值大;④对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件;⑤函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.其中正确的是()A.①③B.②④C.③⑤D.④⑤【解析】选C.①错误.f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.所

5、以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件.②错误.一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个.③正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极大值可能比极小值大,也可能比极小值小.④错误.对可导函数f(x),f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件,如y=x3在x=0时f′(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是极值点.⑤正确.当函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.2.函数y=x2-lnx的单调递减区间为()A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)

6、D.(0,+∞)【解析】选B.由题意知函数的定义域为(0,+∞),又由y′=x-≤0,解得0

7、极大值点D.x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.因为f(x)=+lnx，所以f′(x)=-，令f′(x)=0，即，解得x=2.当02时，f′(x)>0，所以x=2为f(x)的极小值点.5.(2014·杭州模拟)函数y=x+2cosx在区间上的最大值是.【解析】y′=1-2sinx,令y′=0,且x∈，得x=,则x∈时，y′>0;x∈时，y′<0,故函数在上递增，在上递减，所以当x=时，函数取最大值，为.答案：6.(2014·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为[-1,

8、5],部分对应值如下表:f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.x-10245y12021(1)f(x)的极小值为.(2)若函数y=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为.【解析】(1)由y=f′(x)的图象可知,所以f(2)为f(x)的极小值,f(2)=0.x(-1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f′(x)+0-0+0-f(x)↗极大值↘极小值↗极大值↘(2)y=f(x)的大致图象如图所示:若函数y=f