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1、选修4-4坐标系与参数方程第一节 坐 标 系考纲考情广东五年2考 高考指数:★★☆☆☆1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点的圆或圆心在极点的圆)的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义五年考题2013T142010T15考情播报1.直角坐标系与极坐标系是历年高考命题的热点2.直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化是重点3.以填空题形
2、式出现,难度不大【知识梳理】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:在平面内取一个定点O,叫做_____,自极点O引一条射线Ox,叫做_____;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),就建立了极坐标系.(2)点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点M,若设
3、OM
4、=ρ(ρ≥0),以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角为θ,则点M可
5、用有序数对________表示.极点极轴(ρ,θ)(3)极坐标与直角坐标的互化公式:在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,射线Ox的正方向为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则相互转化公式为ρcosθρsinθx2+y23.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程:直线极坐标方程图形过极点,倾斜角为αθ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(θ=___和θ=______(ρ≥0))απ+ααπ+α直线极坐标方程图形过点(a,0),与极轴垂直________=a过点与极轴平行_______
6、_=a(0<θ<π)ρcosθρsinθ(2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:ρsin(α-θ)=______________.ρ0sin(α-θ0)4.半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程:圆心的极坐标圆的极坐标方程图形(0,0)ρ=__(0≤θ<2π)(r,0)ρ=________r2rcosθ圆心的极坐标圆的极坐标方程图形ρ=________(0≤θ<π)(r,π)ρ=_________ρ=_________(π≤θ<2π)2rsinθ-2rcosθ-2rsinθ
7、(2)一般位置的圆的极坐标方程:圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为__________________________.【考点自测】1.(思考)给出下列命题：①点(3，2)经过伸缩变换φ:后的所得点的坐标为(1,1);②将函数y=sin2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sinx的图象;③在极坐标系中，点(2,)与(2,－)为同一点;④在极坐标系中，方程ρcosθ=1表示圆.其中正确命题的序号是__________.【解析】①正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为φ:则点(3,2)经过变换φ后的点的坐标为(1,1).②正确.将函数
8、y=sin2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin2(x)=sinx的图象.③正确.极坐标系中，点(2,)与(2,+2kπ)(k∈Z)为同一点.④错误.极坐标系中，方程ρcosθ=1表示垂直于极轴的直线.答案：①②③2.以极点为原点，极轴的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M(2014,)表示的点在第_______象限.【解析】由于x=ρcosθ=2014cos=1007，y=ρsinθ=2014sin=－1007，故点(1007,－1007)在第四象限.答案：四3.在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为.【解析】方法一:由于
9、圆心在点(r,0),且过极点的圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ,由方程ρ=4cosθ,得r=2,面积S=4π.方法二:由曲线的极坐标方程ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,所以圆的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,化为标准方程,得(x-2)2+y2=4,所以圆的半径为2,面积为4π.答案:4π4.在极坐标系中，过点(2，)且平行于极轴的直线的极坐标方程是________.【解析】点(2，)的直角坐标为(0，-2)，平行于极轴(即横轴)的直线的直角坐标方程为y=-2，化为极坐标方程为ρsinθ=－2.答案：ρsinθ=-25.椭圆经过伸缩变换φ:后得到曲线的
10、周长为_______.【解析】由变换φ
