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1、第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算考纲考情广东五年0考 高考指数:★☆☆☆☆1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直五年考题无单独命题考情播报1.以简单几何体为载体,进行线线、线面、面面关系的判断和证明,一般不单独命题2.试题多以解答题形式出现,考查学生的运算能力及分析问题、解决问题的能力【
2、知识梳理】1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系.定义以空间一点O为原点,具有相同的单位长度,给定正方向,建立两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴,建立了一个空间直角坐标系_____坐标原点点O坐标轴_________、____坐标平面通过每两个坐标轴的平面Oxyzx轴、y轴z轴(2)空间一点M的坐标.①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的_______,y叫做点M的_______,z叫做点M的_______;②建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立__
3、_______的关系.横坐标纵坐标竖坐标一一对应2.空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式.①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
4、AB
5、=___________________________;②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为
6、OP
7、=____________.(2)中点公式.设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,___________则3.空间向量的有关概念名 称定 义空间向量在空间中,具有_____和_____的量单位向量长度(或模)为__的向量零向量长
8、度(或模)为__的向量相等向量方向_____且模_____的向量相反向量方向_____且模_____的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________的向量共面向量平行于___________的向量大小方向10相同相等相反相等平行或重合同一个平面4.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得______.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b_______,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x,y),使____
9、____.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_______,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得___________.其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.a=λb不共线唯一p=xa+yb不共面p=xa+yb+zc5.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念.①两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作______,其范围是0≤≤π,若=,则称a与b_________,记作a⊥b.②两向量的数量积:已知空间两个非零向量
10、a,b,则
11、a
12、
13、b
14、cos叫做向量a,b的数量积,即____________________.互相垂直a·b=
15、a
16、
17、b
18、cos(2)两个向量数量积的性质及运算律①向量a,b的数量积a·b=
19、a
20、
21、b
22、·cos〈a,b〉，向量的数量积的性质②向量的数量积满足如下运算律6.空间向量的坐标运算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(a,b均为非零向量):【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①空间中任意两非零向量a,b共面;②对于任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b;③在向量的数量积运算中(a
23、·b)·c=a·(b·c);④对于非零向量b,由a·b=b·c,则a=c;⑤两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.其中正确的是()A.①⑤B.①③④C.②⑤D.①【解析】选D.①正确.由于向量可平移,因此空间任意两向量都可平移到同一起点,故空间任意两向量共面.②错误.若a与b是非零向量,才有a·b=0⇒a⊥b.③错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量,(a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,故(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.④错误.根据向量数量积的几何意义,a·b=b·c说明a在b方向上的射影与c在b方向上的射
24、影相等,而不是a=c.⑤错误.两向量夹角的范围是[0,π],两异面直线所成角的范围是2.(2014·福州模拟)a=λb(λ是实数)是a与b共线的()A.充分不必要条
