清华大学随机过程作业2答案

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1、清华大学电子工程系版权所有1概率论与随机过程(2)，homework2_MarkovChain_solution©清华大学电子工程系1.若有随机变量序列1;2;


;n;


且1;2;


;n;


互为统计独立的随机变量，n的概率密度为fn(xn)=fn(xn)，Efng=0，n=1;2;:::。∑n定义n=i=1i，n=1;2;:::。试证明：(1)序列1;2;


;n;


具有马尔科夫性；(2)E(nj1=y1;2=y2;


;n1=yn1)=E(njn1=yn1)=yn1。参考答案：(1)由随机变量1;2;


;

2、n;


相互独立，可得：f1;2;


;ng与n+1相互独立又有：n+1=n+n+1,得到条件pdffn+1jn(x)为：fn+1jn(x)=fn+1(xn)=fn+1￿(xn)=fn+1jn;n1;


;1(x)即：(1;


;n1)?n+1jn因此随机变量序列fng具有Markov性。(2)E(nj1=y1;2=y2;


;n1=yn1)=E(n1+nj1=y1;2=y2;


;n1=yn1)=E(n1j1=y1;2=y2;


;n1=yn1)+E(nj1=y1;2=

3、y2;


;n1=yn1)=yn1+E(n)根据(1),f1;2;


;n1g与n相互独立同样，可得E(njn1=yn1)=yn1+E(n)。据题意，E(n)=0因此：E(nj1=y1;2=y2;


;n1=yn1)=E(njn1=yn1)=yn1。2.设一个离散时间、离散状态的随机过程fXn;n⩾1g满足X1;


;Xn1?Xn+1jXn;8n>1则成立X1;


;Xn1?Xn+1;


;XmjXn;8m>n>1参考答案：下面为了记号简单，以f(XijXj)代表条件pdf:fXijXj(xijXj=xj)∏mf(X

4、n+1;


;Xn+mjX1;X2;


;Xn)=f(Xn+ijX1;X2;


;Xn+i1)i=1利用X1;


;Xn1?Xn+1;


;XmjXn;8m>n>1，可得：f(Xn+ijX1;X2;


;Xn+i1)=f(Xn+ijXn+i1)，f(Xn+ijXn+i1)=f(Xn+ijXn;


;Xn+i1)，代入上式得：∏mf(Xn+1;


;Xn+mjX1;X2;


;Xn)=f(Xn+ijXn+i1)i=1∏m=f(Xn+ijXn;


;Xn+i1)=f(Xn+1;


;Xn+mjXn)i=1此即：X1;


;Xn1?Xn+1;


;X

5、mjXn;8m>n>1清华大学电子工程系版权所有23.有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态：0,1,2,3。现每次从甲乙两袋中各取一球，然后互相交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过n次交换，过程状态为(n)，n=1;2;3;4;


(1)试问该过程是否为马尔可夫链;(2)计算它的一步转移概率矩阵。参考答案：(1)此过程是马尔可夫链，原因如下：(n)的状态集为f0;1;2;3g;给定当前时刻状态后，下时刻状态的分布完全确定，与过去时刻的状态无关。(2)它的一步转移概率矩阵010100BC

6、B1440CP=B999CB441C@0999A00104.设有齐次马尔科夫链，其状态空间为I:0;1,它的一步转移概率矩阵为：()1aaP=(0

7、"!"!"!"!"!"!"!"

#!"!"!"!"!"!"图2.1带反射壁的随机游走(1)解释为什么jX1j;jX2j;jX3j;:::满足Markov性，并画出相关的状态转移图。(2)假设跟踪记录最大偏移量，即定义t时刻的最大偏移量Yt=maxfjX1j;jX2j;:::;jXtjg，解释为什么Y1;Y2;Y3;:::不满足Markov性，试寻找一个满足Markov性且能够记录最大偏移量的随机变量序列，并画出其相关的状态转移图。