随机过程5~8章作业答案

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1、5-1.设Y′(t)+Y(t)=X(t),t≥0，其中X(t)是在[0，+∞)上的宽平稳随机过程，试求Y(t)的表达式和该系统的传递函数H(f).解：1)求零输入响应Y(t)：s特征方程为：λ+1=0.根是λ=−1（单根），通解为−tY(t)=Ces12)求零状态响应Y(t)：r对微分方程Y′(t)+Y(t)=X(t)两端作傅里叶变换，得jfYfYf2(π)(+)(=Xf)Y(f)1系统的传递函数为：H(f)==X(f)1+j2πf−t查表得冲激响应函数：h(t)=eu(t)+∞t−（t−τ)得Y(t)=h(t)*X(t)=h(t−τ)X(τ)dτ=e

2、X(τ)dτr∫0∫03)系统的输出为t−t−(t−τ)Y(t)=Y(t)+Y(t)=Ce+eX(τ)dτsr1∫05-2.下图给出了一个R-C电路系统，求该系统的传递函数Hf()和冲击响应函数ht()。dYt()解电压VR=C，根据回路电压原理，得CdtdYt()RCY+=()tX()tdt两边作Fourier变换，得j2(ππfRCYf!!)+=Yf()(1+j2(fRCYf)!!)=Xf()得系统的传递函数Yf!()11/RCHf()===X!()12fj++πfRCR1/Cj2πf取Hf()逆Fourier变换，得系统的冲击响应函数t1−ht(

3、)=Ute()RC（Ut()为单位阶跃函数）RC5-3.设一时不变线性系统的输入过程与输出过程由如下微分方程确定2dYt()dYt()mck++=Y()tX()t2dtdt其中m，c和k是常数，试求该系统的传递函数Hf()。NdYt()dYt()解对AR(N)过程：aYt01()++a?+aN2=Xt()，由定理5-4系统传dtdt输函数为11+∞−jf2πtHf()===hte()dt,pjf()2πaajf()22ππajf()N∫−∞++?+01N其中，ht()为系统的冲激响应。现在对AR(3)时不变线性系统2dYt()dYt()mck2++=Y

4、()tX()tak0=，ac1=，am2=dtdt就有系统传输函数11Hf()==222kcjfmjf++()()22ππkf−+42ππmjc()f6-1.将白噪声X()t输入冲激响应函数为ht()的线性系统，输出过程为Yt()，试求R()τ。YX,*解R(τ)=E{Y(t+τ)X(t)}Y,X+∞*=+EhX{(∫−∞()(ατtdX−α)α)()t}+∞*=+EhX{∫−∞()(αtτα−)()Xtdα}+∞*=+∫hEXt()α{(τα−)()Xtd}α−∞+∞=∫h(α)RX(τ−α)dα=RhX()()τ∗τ−∞6-2.设宽平稳过程X()t

5、定义在(,)−∞+∞上，有自相关函数⎧1

6、

7、/,

8、

9、−ττTT

10、

11、τ≥T1t2而Y(t)=X(u)du，试求Sf()和E{Y(t)}。∫t−TYT解根据+∞1tY(t)=X(t)*h(t)=∫−∞X(u)h(t−u)du和Y(t)=∫t−TX(u)duT得到1h(t−u)=[U(u−t+T)−U(u−t)]，T⎧1,u≥0其中，U(u)=⎨是单位阶跃函数。用t替代tu−，得⎩0,u<01⎧1/,0TtT≤

12、f2πtdt==∫edt1−e∫−∞Tj02πfT()+∞−−jf22πτ+T⎛⎞

13、

14、τjfπτSf()==Re()τdττ⎜⎟1−edXX∫∫−∞−T⎝⎠T++TT110−−−jf222πτjfπτjfπτ=−∫∫∫edτττττed+ed−−TTTT0AAτ1τAAτ11⎛⎞τ利用积分公式∫edτ=e和∫τττed=−⎜⎟e，推出AAA⎝⎠+T−jf2πτsin(2πfT)∫edτ=−Tjπf11+T−−jf22πτ⎡⎤1⎛⎞1jfπT∫ττed=−⎢⎥⎜⎟T+eTj022ππfT⎣⎦jf⎝⎠j2πf110−jf22πτ⎡⎤⎛⎞11jfπT∫ττe

15、d=−⎢⎥⎜⎟Te−T−Tjf22ππTjf⎣⎦⎝⎠jf2π++TT110−−−jf222πτjfπτjfπτSfed()=−τττττed+edX∫∫∫−−TTTT0sin(2πfT)1⎡⎤1⎛⎞1−jf2πT=−⎢⎥−⎜⎟Te+jfππjfTjf22⎣⎦ππ⎝⎠jf211⎡⎤⎛⎞jf2πT1+−⎢⎥⎜⎟Te−j22ππfTjf⎣⎦⎝⎠jf2πsin(2πfT)sin(2πfT)2=−+−()1cos(2πfT)2jfπππjf(2fT)211cos(2−ππfT)⎛⎞sin(fT)==T⎜⎟2()ππfT2⎝⎠fT2S(f)=S(f)

16、H(f)

17、Y

18、X22⎛⎞sin(πfT)1−jf2πT=−Te⎜⎟()1⎝⎠ππfTj2fT224⎛⎞sin