第3章第2节 (2)

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1、第三章　第二节1．(2014·厦门质检)函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，0)　　　　B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞)　　　D．(－3,1)解析：选D　y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)，由y′＞0得x2＋2x－3＜0解得－3＜x＜1，∴函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(－3,1)．故选D.2．(2014·青岛检测)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是(　　)A．1＋　　　B．1C．e＋1　　　D．e－1解析：选D　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得

2、x＝0，令f′(x)＞0得x＞0，令f′(x)＜0，得x＜0，则函数f(x)在(－1,0)上递减，在(0,1)上递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e＜＋2－e＜0，∴f(1)＞f(－1)．故选D.3．(2014·温州十校联合体联考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)＜f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)A．f(1)＜ef(0)，f(2014)＞e2014f(0)B．f(1)＞ef(0)，f(2014)＞e2014f(0)C．f(1)＞ef(0)，f(2014)＜e2014f(0)D．f(1)＜ef(0)，f(2014)＜e2

3、014f(0)解析：选D　令g(x)＝，则g′(x)＝′＝＝＜0，所以函数g(x)＝是单调减函数，所以g(1)＜g(0)，g(2014)＜g(0)，即＜，＜，故f(1)＜ef(0)，f(2014)＜e2014f(0)．4．(2014·辽宁五校联考)函数f(x)＝x3－bx2＋1有且仅有两个不同零点，则b的值为(　　)A．　　　B．C．　　　D．不确定解析：选C　f′(x)＝3x2－2bx＝x(3x－2b)，由f′(x)＝0，得x＝0，x＝.当曲线f(x)与x轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，因为f(0)＝1≠0，所以f＝0，解得b＝.故选C.5．(2012·重庆高

4、考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：选D　由图可得函数y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2，则当x＜1时，1－x＞0，此时在(－∞，－2)上f(x)＞0，f′(x)＞0，在(－2,1)上f(x)＜0，f′(x)＜0；当x＞1时，1－x＜0，此时在(1,2)上f(x)＞0

5、，f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f(x)＜0，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，因此f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)，故选D.6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)A．2B．3　　　　C．6　　　　D．9解析：选D　∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b时等号成立，∴ab的最大值为9，故选D.7．

6、(2014·南京模拟)若f(x)＝－(x－2)2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：(－∞，－1]　由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可，故所求范围为(－∞，－1]．8．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f(－4)，f，f的大小关系为________(用“＜”连接)．解析：f＜f(－4)＜f　∵f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈时，sinx＜0，c

7、osx＜0，∴f′(x)＝sinx＋xcosx＜0，则函数f(x)在区间上为减函数，∵＜4＜，∴f＜f(4)＜f，又函数f(x)为偶函数，∴f＜f(－4)＜f.9．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．解析：　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－a＜x＜a时，f′(x)＜0，函数递减；当x＞a或x＜－a时f′(x)＞0，函数递增．∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a＞0且f(a)＝a3－3a3＋a＜0，解得a＞.故a的取值范围为