倍角公式的应用-ppt课件

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1、倍角公式的应用[回顾上节]sin2α=2sinαcosα1.cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α2.tan2α=2tanα1-tan2α3.注意：对于3式中α≠π/4+（π/2）k且α≠π/2+kπ，（k∈z）[例1]把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面最大（分别设边与角为自变量，并比较两种解法）？分析：找出问题的两个变量（自变量和函数值），建立函数关系。2Rθ。ABCD解：先设角θ为自变量（如图），面积S=AB。CB。则AB=2Rcosθ，CB=2Rsinθ所以S=AB。CB=4R2sin

2、θcosθ即：S=2R2sin2θ因为sin2θ≤1，所以S≤2R2当且仅当sin2θ=1时，S有最大值2R2即：当且仅当2θ=90。时，即θ=45。时（AB=BC），S有最大值，此时矩形为圆内接正方形。2Rθ。ABCDι另解：设边AB=ι，则：AC=2R，BC=√4R2-ι2所以，S=ι。√4R2-ι2即：S2=ι2（4R2－ι2）=－（ι2）2+4R2。（ι2）当且仅当（ι2）=（－4R2）/（－2）=2R2时，S2有最大值4R4，即：ι=2R时，S有最大值2R2.这时，BC=4R2-ι2=2R=ι,四边形ABCD为正方形.说明：请同学们比较课本

3、44页5（1）、（2）的证明.证明：（1）在倍角公式cos2α=1-2sin2α中，以α代2α，则：Cosα=1－2sin2α2sin2α2=1－cosα2即：所以原式得证.[例2]求证：（1）sin2α=21－cosα2（2）cos2=1+cosα2（3）tan2α21－cosα1+cosα=α2（2）在倍角公式cos2α=2cos2α－1中以α代替2α，则：Cosα=2cos2α2Cosα=2cos2α2－1cos2α2=1+cosα2即：所以原式得证.（3）将第（1）、（2）小题中两个等式的左右两边分别相除，即得：说明：以上三个式子叫做半角公式

4、，有时也写作：所以原式得证.sinα2=1－cosα2+（1）cosα2=1+cosα2+（2）tanα2=+（3）1－cosα1+cosα（其中的正负号由α/2所在的象限决定）tan2=1－cosα1+cosαα2[随堂练习]若cosα=1/2，求sin2、、α2cos2α2tan2α2[参考答案]1/4；3/4；1/3[例3]求证：tan=1－cosαsinαα2=sinα1+cosα[分析]若由上例来证，涉及到开tanα2=+1－cosα1+cosα方及正负值讨论，所以应另想办法-----切化弦.解：左边=cosα2α2sin=22α2sinα

5、2sinα2sincosα2α22sinαsin2=α2-（1-2sinαsin2）+1===中间=1－cosαsinα左边=cosα2α2sin=22α2sincosα2cosα2cosα2sinαα22cos2－1+1=sinα1+cosα=右边tan=1－cosαsinαα2=sinα1+cosα所以成立.2.注意二倍角的相对性，如：2α与α，α与α/2，α/2与α/4，3α与（3/2）.α等，前者都是后者的二倍角.[参考答案]（两边平方）（1）4/5（2）2－√55α2sincosα2－=sinαtanα2[随堂练习]若求：（1）（2）（α是

6、第二象限角）说明：1.本题也可先证出再由（课本26例5）得出.tan=1－cosαsinαα21－cosαsinα=sinα1+cosα[例4]若tanα=b求下式的值：1+sin2α－cos2α1+sin2α+cos2α[分析]利用倍角公式展开1+2sinαcosα－（1－2sin2α）1+2sinαcosα+（2cos2α－1）2sinα（cosα+sinα）2cosα（cosα+sinα）2sinα2cosα=tanα=b解：原式===tan=1－cosαsinαα2=sinα1+cosα由[例3]和倍角的相对性可知：另解：tanα=1－cos

7、2αsin2α=sin2α1+cos2α利用等比定理：tanα=1－cos2α+sin2αSin2α+1+cos2α即：原式=tanα=b[巩固与练习]1.设α∈（π，2π），则1－cos（π+α）2=（）（A）sinα2α2cos（B）sinα2－（C）α2cos－（D）2.设=1/3，540。＜α＜720。，则=α2cossinα43.以下与tanα相等的是（）1－cos2α1+cos2α（A）sinα1+cosα（B）sin2α1－cos2α（C）1－cos2αsin2α(D)4.若│cosθ│=1/5，θ∈（2.5π，3π）则tan0.5θ=

8、（）│5.用两种方法证明：tan=1－cosα+sinαSinα+1+cosαα2DD3362（参看[例4]