【教学设计】《利用二分法求方程的近似解》 （北师大）

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1、《利用二分法求方程的近似解》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修一第四章第1节的内容。方程的根与函数的零点体现了函数思想以及函数与方程的联系，在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学必修3中的算法内容的学习做了铺垫，因此本节有着承上启下的作用。通过本节的学习使学生感受并非所有的方程都能求出精确值，能得到满足精度的近似解就非常满意了，由此改变了学生对解的片面看法，使学生对数学的理解上了一个新的高度。◆教学目标【知识与能力目标】了解二分法求方程近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义。【过程与方法目标】在近似计算的学习中感受近似、逼近

2、等数学思想的含义和作用。【情感态度价值观目标】 通过本节课的教学，进一步拓宽学生的视野，使他们体会数学不同内容之间的内在联系，用数学知识解决实际问题，增强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣，培养学生的问题意识。◆教学重难点◆【教学重点】利用二分法求方程的近似解的基本思想和过程。【教学难点】利用二分法求方程的近似解以及对方程近似解的精确度的把握和理解。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？二、研探新知，建构

3、概念1.电子白板投影出上面实例。第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币。∴最多称四次。2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）二分法的概念对于图像在区间[a,b]上连续不断且满足fa∙fb<0的函数y=f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。注意：①二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小

4、的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。②二分法的基本思想是逼近思想。(2)用二分法求方程的近似解的过程图411在图411中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。三、质疑答辩，发展思维1.举例：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)A　　　　B　　　　　C　　　　　　D解：按定义，f(x)在[a,b]上是连续的，且fa∙fb<0，才

5、能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。选A。2.思考1：所有的函数求零点问题都可以用二分法吗？解：不是。“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。即二分法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。思考2：如何用二分法求方程的近似解？解：二分法求解步骤：(1)确定区间[a,b]：验证fa∙fb<0，初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次数。(2)

6、求区间[a,b]的中点c。(3)计算f(c)：①若fc=0，则c就是函数的零点。②若fa∙fc<0，则令b=c(此时零点x0∈[a,c])。③若fc∙fb<0，则令a=c(此时零点x0∈[c,b])。(4)判断a,b的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复(2)～(4)步。特别注意要运算彻底。注意：用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求,达到给定的精确度，以决定是停止计算还是继续计算。3.例题例1下列函数中，能用二分法求零点的为(　　)　A　　　　　

7、B　　　　　C　　　　　D解：函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B选项符合。例2借助计算器或计算机，用二分法求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度为0.1)。解：原方程可化为3x-1x+1+1=0，即3x=1x+1-1，在同一坐标系中，分别画出函数g(x)=3x与h(x)=1x+1-1的简图，如图所示：因为g(x)与h(x)的图像交点的横坐标位于区间(－1,0)且只有一个交点，所以原方程只