线性代数 牛莉 第01章

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1、线性代数牛莉等编著中国水利水电出版社第1章行列式1.1全排列及其逆序数1.1.1排列与逆序自然数组成的有序数组称为一个元排列，记为．元排列共有个．排列称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序．定义1在一个元排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序．一个元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为．若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）．．计算排列逆序数的方法：设为个自然数的一个排列，考虑元素，如果比大且排在前面的数有个，就说这个元素的逆序数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆

2、序数，即．例1求下列排列的逆序数：（1）；（2）．解此排列为偶排列．（2）同理可得此排列的奇偶性由确定．1.1.2对换定义2将一个排列中的某两个数的位置互换（其余的数不动），就得到了一个新排列，称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换．定理1对排列进行一次对换，则改变其奇偶性．由定理1可得下面的推论．推论1奇排列调成自然（标准）排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列的对换次数为偶数．推论2全体元排列（）的集合中，奇、偶排列各占一半．1.2行列式的概念1.2.1二、三阶行列式一、二阶行列式求解二元一次方程组(1.2.1)引入符

3、号称为二阶行列式（（1.2.1）的系数行列式），它代表一个数，简记为，其中数称为行列式的第（行标）行、第（列标）列的元素．当时，求得方程组(1.2.1)的解为，根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的分子也可用二阶行列式表示．若记其中表示将中第列换成(1.2.1)式右边的常数项所得到的行列式．，其中于是，当系数行列式时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解，二、三阶行列式求解三元一次方程组(1.2.2)引入符号称为三阶行列式（（1.2.2)的系数行列式）．三阶行列式的对角线法则：当系数行列式时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解，其中三

4、阶行列式具有以下特点：（1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成　，而第二个下标（列标）排列成，它是自然数的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列：；带负号的三项列标排列是：．由上节知，前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为，其中为列标排列的逆序数；（3）因共有个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和．因此，三阶行列式可以写成其中为排列的逆序数，即，上式表示对三个

5、数的所有排列求和．1.2.2阶行列式的定义定义3称由个数排成行列组成的记号为阶行列式，简记为．．阶行列式可表示为其中∑表示对的所有排列取和，数称为行列式的元素．定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数．定义4对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式．阶上三角行列式．同理，阶下三角行列式．1.3行列式的性质转置行列式:设将的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为称为的转置行列式．显然也是的转置行列式，即性质1行列式与其转置行列式相等，即性质2行列式的两行（列）互换，行列式变号．推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零．

6、性质3行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式．推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零．性质4行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零．性质5若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和．即性质6将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变．即第行乘加到第行上，有．为叙述方便，引进以下记号：（1）交换行列式的两行（列），记为；（2）第行（列）乘以，记作，第行（列）

7、提出公因子，记作；（3）将行列式的第行（列）乘加到第行（列）上，记为．．例1计算解．例2计算解例3计算解从第1列开始，前列减后列，然后再在前3列中，前列减后列．例4计算阶行列式．解从第1行开始前行乘加到后行上，得．其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积．1.4行列式按行（列）展开1.4.1行列式按某一行（列）展开定义5在阶行列式中，将元素所在的第行和第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；称为元素的代数余子式．引理如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，则此行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理3行列式等于它的任意一行（列）

8、的各或．例1计算解从而解得．例2计算解按第1行展开，有以此作递推公式，得例3证明范德蒙德（Vander-monde）行列式