线性代数 牛莉 第03章

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1、第3章向量组的线性相关性3.1维向量3.2向量组的线性相关性3.2.1向量组的线性组合定义3设有维向量，若存在一组数，使或则称为向量组的线性组合，或称可由向量组线性表示（表出），称为此线性组合的组合系数．3.2.2向量组的线性相关与线性无关定义4设有维向量组，若存在一组不全为零的数，使则称向量组线性相关，否则称此向量组线性无关．换言之，若线性无关，成立当且仅当由此定义可知：（1）仅含一个零向量的向量组必线性相关．（2）仅含一个非零向量的向量组必线性无关．（3）任何包含零向量在内的向量组必线性相关．3.2.3向量组线性相关的充分必要条件定理1向量组线性相关的充分必要条件是：

2、向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．例1讨论向量组的线性相关性．解设有一组数　　　　，使则有方程组因其系数行列式所以方程组有非零解，从而　　　　线性相关．例２讨论维向量组的线性相关性，通常称　　　　　为基本单位向量组．解设有一组数　　　　　，使即得　　　　　　　，从而　　　　　　　　，故　　　　　线性无关．例３设向量组　　　　　　线性无关，讨论向量组的线性相关性．解设有一组数　　　　　　，使即从而有由　　　　　　线性无关，得齐次方程组将其系数行列式按第一行展开得当　为奇数时，　　　　，因此故　　　　　线性无关；当为偶数时，，因此故线性相关．3.3线性相关性的判别

3、定理定理2向量组线性相关的充分必要条件是（有非零解）它所构成的矩阵的秩小于向量个数；该向量组线性无关的充分必要条件是.推论1个维向量线性无关的充分必要条件是它们所构成的方阵的行列式不等于零.推论2个维向量组成的向量组，当维数小于向量个数（即）时一定线性相关．定理3（1）若线性相关，则也线性相关；（2）线性无关的向量组的任何部分组必线性无关．定理4设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示式惟一．定理5设有两个向量组：：其中是自然数的某个确定的排列，则向量组与向量组的线性相关性相同．定理6设有两个向量组：；：，即向量加上一个分量得到向量．若向量组线性无关，则向量组也线性

4、无关；反之，若向量组线性相关，则向量组也线性相关．3.4向量组的秩3.4.1向量组等价的概念定义5设两个向量组和:．若向量组中的每个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示；若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价．等价向量组具有下面三个性质：⑴自反性：向量组与自身等价；⑵对称性：若向量组与向量组等价，则向量组与向量组等价；⑶传递性：若向量组与向量组等价，向量组与向量组等价，则向量组与向量组等价．3.4.2极大线性无关组与向量组的秩定义6设向量组的一个部分组满足⑴线性无关；⑵向量组中每一个向量均可由线性表示，则称是向量组的一个极大线性无关组，简称

5、极大无关组；极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，向量组的秩记为．由定义6可证明:(1)只含零向量的向量组没有极大线性无关组，规定它的秩为；(2)任何非零向量组必存在极大无关组；(3)向量组的极大无关组与向量组本身等价；(4)线性无关向量组的极大无关组为其本身（线性无关向量组的秩等于它所含向量的个数）.例1求向量组的一个极大无关组．解由3.2节例1知线性相关，下面讨论其中任两个向量的线性相关性．设有数，使，即因为由前两个方程构成的齐次线性方程组的系数行列式故方程组有惟一解，即，所以线性无关．同理可验证；也线性无关．可取作为原向量组的一个极大无关组，也可取或作为原向量

6、组的极大无关组．一般来说，向量组的极大无关组不是惟一的，但可以证明每一个极大无关组所含向量的个数是惟一的．求向量组的极大无关组的意义之一在于：当用向量组表示方程组时，其极大无关组中的向量对应方程组中那些独立的方程，而独立的方程构成的方程组与原方程组同解．定理7若向量组的秩为，向量组的秩为，且向量组能由向量组线性表示，则．推论等价向量组的秩相等．3.4.3向量组的秩与矩阵秩的关系设矩阵称矩阵的个列向量所构成的向量组的秩为的列秩；的个行向量所构成的向量组的秩为的行秩．矩阵的秩与其行、列秩的关系有如下定理:定理8矩阵的秩等于其行秩，也等于其列秩．3.4.4初等变换求向量组的秩将

7、所讨论的维向量组写成一个行列的矩阵，并对此矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是向量组的秩（即极大无关组所含向量的个数）．例2求向量组，的秩及一个极大无关组．解将向量按列构成矩阵，用初等行变换化其为行阶梯形矩阵：显然，非零行数为，知，故．3.5向量空间3.5.1向量空间的概念定义7设是非空的维向量集合，若集合对于向量的加法和数乘运算满足⑴对任意的，有；⑵对任意的，有，则称集合为向量空间．3.5.2向量空间的基与维数定义8设是向量空间，若向量组满足（1）　　　　　线性无关；（2）　中的任一向量都可由　　　　　线