线性代数 牛莉 第06章

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1、第6章二次型本章主要介绍二次型．包括把二次型化为标准形及其二次型的正定性．通过本章的学习，读者应该掌握以下内容：二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩用正交变换把二次型化为标准形的方法用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理二次型的正定性及其判别法合同．6.1二次型及其矩阵表示6.1.1合同矩阵定义1设有两个阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵使得,则称矩阵与合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型的主要工具．合同关系具有以下性质：性质1与自身合同．性质2若合同,则与合同.与性质3若合同,与合同,则与合同.与6.1.2二次型及其矩阵表示定义2含有个变量的二次齐次函数称为

2、二次型．取则实二次型可以写成：则二次型可记作记任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型．这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系．因此，我们把对称矩阵叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵的二次型．对称矩阵的秩就叫做二次型的秩．例如可表示为可逆变换,正交变换.经可逆变换二次型的矩阵变为与合同的矩阵且二次型的秩不变．研究矩阵的合同与实二次型理论的关系．在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：称为由变量到变量线性变换．矩阵形式为6.2化二次型为标准形6.2.1用正交变换法化二次型为标准形

3、定义3如果二次型通过可逆线性变换化成二次型且仅含平方项．即则称上式为二次型的标准形．一般的，二次型的标准形不惟一．标准形所对应的矩阵为对角矩阵，即其中是矩阵的特征值，正交矩阵的个列向量是对应于的特征向量．定理1任给一个二次型总存在正交变换使化为标准形例2求一个正交变换化二次型为标准形．解二次型的矩阵所以，的特征值为对于解方程由于同解方程组一基础解系为单位化得对于解方程由于同解方程组一基础解系为单位化得将正交化，得令则作正交变换二次型可化为标准形6.2.2用配方法化二次型为标准形用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点．如果不限于正交变换，那么还可以有

4、多个可逆的线性变换把二次型化成标准形．其中最常用的方法是拉格朗日配方法．例3用配方法化二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵．解先将含有的项配方再将后三项中含有的项配方，令则经过可逆变换可将二次型化为标准形定理2任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略）．二次型的标准形不是惟一的，但标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩，）．不仅如此，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有：定理3(惯性定理)设二次型它的秩为,有两个可逆线性变换,使则中正数的个数中正数个数相等.另外，我们还有如下结论：（1）标准形所含项数等于二次型对应的矩阵

5、的非零特征值的个数（重特征值按重数计算）；（2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征值按重数计算）；（3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数减去正特征值的个数．二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数．定义4如果二次型通过可逆线性变换可以化为则称之为该二次型的规范形．定理4任给一个二次型总存在可逆变换,使化为规范形．可以证明，规范形是惟一的．规范形中取+1的个数等于正特征值的个数，也等于正惯性指数；取－1的个数等于负特征值的个数，也等于负惯性指数；其中为非零特征值的个数，等于二次型的

6、秩．例如，若二次型的矩阵的特征值为,则的规范型为推论两个实对称合同的充分必要条件是它们所对应的实二次型具有相同的正惯性指数和秩．6.3正定二次型定义5设实二次型如果对任意都有（显然），则称为正定二次型，并称对称矩阵是正定的；如果对任意都有则称为负定二次型，并称对称矩阵是负定的．定理5可逆变换不改变二次型的正定性．定理6二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于推论1二次型正定的充分必要条件是它的规范型为推论2实对称矩阵正定的充分必要条件是与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵使推论3实对称矩阵正定的充分必要条件是的所有特征值都大于零．推论4如果实对称矩阵正定，则的行列式

7、大于零；反之未必．定义6设阶矩阵的子式称为矩阵的阶顺序主子式．定理7实对称矩阵正定的充分必要条件是的所有顺序主子式都大于零，即例5求证给定的二次型是正定的证明这个二次型对应的实对称矩阵它的顺序主子式所以是正定矩阵，即为正定型．定理8设二次型则下列各条件等价．（1）为负定二次型；（2）的负惯性指数等于（3）实对称矩阵与合同；（4）实对称矩阵的特征值都小于零；（5）实对称矩阵的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零．例8判断对称矩阵正定性.解的顺序主子式所以既不是正定矩阵也不是负定矩阵在线教务辅导网：http://www.shangfuwang.com更多课程

8、配套课件资