线性代数 牛莉 第04章

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1、第4章线性方程组4.1齐次线性方程组4.2齐次线性方程组解的结构若为(4.1.1)的一个解，则称为方程组(4.1.1)的解向量，也是(4.1.2)的解．齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质．性质1若是(4.1.2)的解，为任意实数，则也是(4.1.2)的解．性质2若是(4.1.2)的解，则也是(4.1.2)的解．性质2若是(4.1.2)的解，则也是(4.1.2)的解．若将齐次线性方程组(4.1.1)的全体解向量所组成的集合记做，则性质1、2即为（1）若，，则；（2）若，则．同时说明集合对向量的线性运算

2、是封闭的，所以集合是一个向量空间，称为齐次线性方程组(4.1.1)的解空间．定义1方程组(4.1.1)的解空间的一个基称为(4.1.1)的一个基础解系．与定义1等价之定义为：齐次线性方程组(4.1.1)的解集合的一个极大线性无关组称为方程组(4.1.1)的一个基础解系．定理2若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的秩小于未知数个数，即，则方程组(4.1.1)必存在含有个解向量的一个基础解系，且其通解(全部解)可表示为其解空间可表示为由此可见，方程组(4.1.1)有非零解当时，(4.1.1)只有零解，此

3、时解空间只含一个零向量，为维向量空间，没有基础解系.．例1求齐次线性方程组的一个基础解系和通解．解将系数矩阵施行初等行变换，化其为行最简形矩阵，基础解系由两个线性无关的解构成．与原方程组同解的方程组为即　（为自由未知数）(1)令　　　，代入(1)，得，从而得到一个基础解系为故方程组的通解为例2求齐次线性方程组的通解．解将系数矩阵施行初等行变换，有，基础解系由两个线性无关的解构成．与原方程组同解的方程组为其中是自由未知数，可任取值，若取得原方程组的通解为原方程组的一个基础解系为，通解又可表示为例3求，使齐

4、次线性方程组有非零解，并求其通解．解系数行列式当，即时，方程组有非零解．将代入原方程组，得方程组的系数矩阵得同解方程组令，得通解再将代入原方程组，得方程组的系数矩阵得同解方程组令，得通解4.3非齐次线性方程组解的结构设非齐次线性方程组(4.3.1)若记则与方程组(4.3.1)等价的矩阵形式和向量形式分别为(4.3.2)求解非齐次线性方程组，首先要判断该方程组是否有解．若方程组有解，称该方程组是相容的；若方程组无解，称该方程组是不相容的．定理3非齐次线性方程组(4.3.1)有解在非齐次线性方程组中，令得到

5、的齐次线性方程组，称为与方程组对应的齐次方程组，或称为方程组的导出组．和．，非齐次线性方程组的解也有两个重要性质．性质3若是方程组的解，则是对应的齐次线性方程组的解．性质4若是方程组的解，是对应的齐次方程组的解，则仍是方程组的解．定理4设非齐次线性方程组(4.3.1)的系数矩阵为，增广矩阵为，则（1）方程组(4.3.1)有惟一解；（2）方程组(4.3.1)有无穷多解例1求解方程组解对增广矩阵施行初等行变换因为，所以方程组有解，且同解方程组为或即，则，得方程组的一个特解令，则得原方程组的通解例2求解方程组

6、解对增广矩阵行初等行变换因为，故方程组无解．例3求非齐次线性方程组的通解、对应齐次线性方程组的通解和一个基础解系．解对增广矩阵施行初等行变换得同解方程组令，得原方程组的通解对应齐次线性方程组的一个基础解系及通解分别为和例7取何值时，线性方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其解．解方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为则．（1）当且时，此时方程组有惟一解；（2）当时，，，此时方程组无解；（3）当时，，此时方程组有无穷多解．由同解方程组得通解一般齐次线性方程组为(4.1.1)其矩阵形式为(4.

7、1.2)其向量形式为(4.1.3)其中(4.1.1)、(4.1.2)和(4.1.3)式是同一个线性方程组的三种不同表现形式．定理1若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的秩，则(4.1.1)只有惟一零解；若，则(4.1.1)有无穷多解．推论1若齐次线性方程组(4.1.1)中的方程个数小于未知数个数，则该齐次线性方程组必有非零解．推论2若齐次线性方程组(4.1.1)中的方程个数与未知数个数相等且系数行列式等于零，则该齐次线性方程组必有非零解．在线教务辅导网：http://www.shangfuwang.

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