线性代数 牛莉 第07章

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1、第7章线性空间与线性变换本章介绍线性空间的基本概念与基本运算，介绍线性变换的基本概念以及线性变换的矩阵。通过本章的学习，应该掌握以下内容：线性空间的概念、基、维数与坐标基变换与坐标变换公式线性变换的概念、简单性质与运算线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系线性变换运算所对应的矩阵线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件维线性空间的概念7.1维线性空间7.1.1定义1设是一个非空集合，是一个数域,在中定义了两种代数运算：1．加法对于中任意两个元素按某一法则,在中都有惟一的一个元素与它们对应,称为的和,记作2．数量乘

2、法对于任意元素和数域中的任意数按某一法则,在中都有惟一的一个元素对应,称为与它们与的数量乘积，记作一般称集合对于加法和数量乘法这两种运算封闭．如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律，则称是数域上的一个线性空间．其中：（3）在中有一个元素,对于中任一元素,都有.称元素为的零元素（4）对于中每一个元素,都有中的元素使得.称元素为的负元素,记作,即(5)对数域中的数1和中的任一元素,都有是任意实数)注:凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为线性空间．线性空间具有下列性质：性质1线性空间

3、的零元素是惟一的；性质2线性空间中每个向量的负向量是惟一的；性质3性质4如果,则或7.1.2基、维数与坐标定义2在线性空间中,如果存在个元素满足:中任一元素总可以由线性表示,那么,称为线性空间的一组基,称为线性空间的维数线性无关;定义3设是维线性空间的一组基是中任一元素，如果这组有序数组就称为元素在这组基下的坐标，并记作：建立了坐标后，就把抽象的向量（元素）与具体的数组向量联系起来了并且,还可把抽象的线性运算与数组向量的元素联系起来．设为一组基于是7.1.3基变换与坐标变换公式设与是线性空间中的两个基利用分块矩阵的乘法形式

4、，可将上式记为或其中称为由基到过渡矩阵.中的每一列元素分别是基在基下的坐标；称为基变换公式定理1设中的元素在基下的坐标为,在基下的坐标为,若两个基满足则有坐标变换公式或例8设是线性空间的一组基为一个二阶可逆矩阵，令显然，也线性无关，因此的一组基,并且满足也是是由基到的过渡矩阵.例9设由所有二阶矩阵组成的线性空间的两个基为：（1）求由基到基（2）分别求的过渡矩阵；在上述两个基下的坐标；（3）求一个非零矩阵,使在两个基下的坐标相同．解（1）因为写成矩阵形式，就有于是矩阵到基的过渡矩阵；即是由基（2）由于是,在基下的坐标为在基下

5、的坐标为(3)设在上述两个基下坐标相同,由(2)知,应有,故为在给定的两组基下坐标相同的非零的二阶矩阵．7.2线性变换7.2.1线性变换的定义定义4设有两个非空集合如果对于中的任一元素,按照一定的规则,总有中一个确定的元素对应,那么,这个对应规则就称为从集合和它到集合的变换(或映射).我们常用字母来表示一个变换，譬如把上述变换记作,并记或定义5设分别是实数域上的维和空间,维线性是一个从到的变换,如果变换满足:（1）任给,有（2）任给,有那么就称为从到的线性变换如果,那么,称为中的线性变换.7.2.2线性变换的简单性质线性变

6、换有以下性质:性质1性质2若,则性质3若,则线性相关.线性相关性质4线性变换的像集称为线性变换的像空间；是一个线性空间,性质5使的的全体也是一个线性空间,称为线性变换的核.例17设有阶矩阵其中中的变换为线性变换的像空间为的核就是齐次线性方程组的解空间7.2.3线性变换的运算1.线性变换的加法定义6设是线性空间定义它们的和的两个线性变换,为容易证明,线性变换的和还是线性变换.线性变换的加法满足结合律与交换律.即2．线性变换的数量乘法定义7设是线性空间的线性变换,定义它们的数量乘法为实数，为显然,仍然是线性变换.线性变换的数量

7、乘法满足以下运算规律：称为的负变换3.线性变换的乘法定义8设是线性空间定义它们的乘积的两个线性变换,为容易证明,线性变换的乘积还是线性变换.线性变换的乘法满足结合律.即但不满足交换律,即一般地对于乘法,单位变换有特殊的地位,对任意变换还可以证明线性变换的加法与乘法满足乘法对加法的左右分配律：满足4．线性变换的逆变换定义9设是线性空间的线性变换,如果有的线性变换存在,使,则称线性变换可逆，并称是的逆变换.可以证明可逆变换的逆变换是惟一的．可逆变换的逆变换记做,即可以证明,线性变换的逆变换也是线性变换．7.3线性变换的矩阵表示

8、7.3.1线性变换在一个基下的矩阵定义10设是维线性空间的线性变换，在中取定一组基，,如果这组基在线性变换下的像（用这个基线性表示）为记上式可以表示为其中那么,就称为线性变换在基下的矩阵．显然，矩阵由基的像惟一确定．特别地,在中取定一组基以后,线性变换矩阵例18求中的线性变换在如下基下的矩阵：解（1）因