线性代数 第三章矩阵初等变换与线性方程组

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1、线性方程组的解设一般线性方程组为线性方程组有解，我们称它们是相容的；如果无解，则称它们是不相容的。方程（1）对应的矩阵方程为其中：1称为方程组(1)的增广矩阵。其中为方程组(1)的系数矩阵。2称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组。当时,齐次线性方程组齐次与非齐次线性方程组非齐次线性方程组3定义：线性方程组的初等变换（1）用一非零的数乘某一方程（2）把一个方程的倍数加到另一个方程（3）互换两个方程的位置可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解。对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵；做初等

2、行变换初等行变换4化为行阶梯形矩阵5则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。化为行最简形矩阵6由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况有唯一解。有无穷多解。特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。当有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。1)若，即则方程组无解。2)若则方程组有解，当时，7举例说明消元法具体步骤：例：解线性方程组解：最后一行有可知方程组无解。8例：解线性方程组解：9对应的方程组为即所以一般解为（k为任意常数）10齐次线性方程组1.齐次线性方程组（2）有解的条件定理1:齐次线性方程组有非零解定理2:齐次线性方程组

3、只有零解推论:齐次线性方程组只有零解即即系数矩阵A可逆。11例:求齐次方程组的通解。解：初等行变换12行最简形矩阵对应的方程组为求通解即是自由未知量。令则即为任意常数。13解：初等行变换所以只有零解。14三.非齐次性线性方程组有解的条件定理3：非齐次线性方程组有解并且，当时，有唯一解；当时，有无穷多解。15求解非齐次方程组解：16令则为任意常数）17例k取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解.解：法1：1819法2：利用Cramer法则有无穷多解，即当时，当时，即且时，方程组有唯一解。20所以方程组无解。21线性方程组讨论例题取何值时，（1）

4、有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多组解解：当时；22线性方程组讨论例题(2)当时；23线性方程组讨论例题(3)当时；原方程组有唯一解当时；显然此时方程有无限多组解显然此时方程有无限多组解24线性方程组讨论例题(4)当时；原方程组无解当时；原方程组有唯一解当时,原方程组无解当时；方程有无限多组解25线性方程组讨论例题取何值时有解，并求出它的解解：时，无解26线性方程组讨论例题时：线性方程的解为：得：27线性方程组讨论例题时：线性方程的解为：得：28线性方程组讨论例题解：时为何值时，有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解解求通解。29线性方程组讨论例题时，

5、无解、1时，唯一解时，无穷多解30线性方程组讨论例题时31设矩阵A=求矩阵A的秩32设有矩阵方程其中A=，B=，C=，求矩阵3334是否有非零解方程组只有零解3536解线性方程组37则方程组的解为38解线性方程组39若齐次方程组有非零解，则的值为即当或-1时，方程组有非零解40有无穷多组解，求41作业P121习题3-6No.1①、②解齐次线性方程组No.6①、②求非齐次线性方程组解42