线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组课件.ppt

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1、2021/7/22线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换第二节矩阵的秩第三节线性方程组的解本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质．然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．§1矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换三、小结引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用

2、到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（　与　相互替换）（以　　　替换　）（以　　　　替换　）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义1二、矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍

3、为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组（1）：特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例如，特点：所有与矩阵等价的矩阵组

4、成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.行变换定理1设与为矩阵，那么（1）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵，使（2）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵，使（3）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵,使推论：方阵可逆的充分必要条件是，即并可验证1-==AXEAX利用初等变换求逆阵的方法：解例１即初等行变换例２解例3求解矩阵方程，其中解：例4设的行最简形矩阵为，求，并求一个可逆矩阵，使三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换4.利用初等变换求逆阵的步骤是:§2矩阵的秩

5、一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法三、小结一、矩阵秩的概念矩阵的秩简单结论:1、4、2、3、例1解例2解例3解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法推论若可逆矩阵使则初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.例5解分析：例6设已知，求与的值。矩阵秩的的性质：1、2、证明：例7设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)例8证明：若且，则三、小结(2)初等变换

6、法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题§3线性方程组的解一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法三、小结、思考题一、线性方程组有解的判定条件问题：（3）线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容。证明：只需证条件的充分性即可。故方程有惟一解。（*）解（*）称为线性方程组（3）的通解。由于参数可取任意值，故方程组（3）有无限多个解。定理4n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(

7、A)

8、．例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为例４