随机变量及其分布(I)

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1、§1、随机变量及其分布函数随机变量就是“取值随机会而定”的变量，正如随机事件是“发生与否随机会而定”的事件。机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一种要看机会，即有一定的概率。例如，掷一枚骰子出现的点数X就是一个随机变量，它可以取1,2,3,4,5,6的六个值，到底取哪个值要等掷了骰子后才知道。可见，随机变量就是试验结果的函数。概率论与数理统计引例1设随机试验E：抛一枚硬币，观察正面H与反面T的出现情况。样本空间为Ω={H，T}，现在我们将试验的每个结果(样本点)与一个实数建立联系,即相当于在Ω上定义一个函数:这样

2、一来,“出现正面H”的事件为{X=1},“出现反面T”的事件为{X=0},且易知概率论与数理统计引例2设随机试验E：测试灯泡寿命(小时).样本空间为Ω={t

3、t≥0}，现在我们将试验的灯泡寿命记为X,令事件“灯炮寿命在1000～2500小时”就可表示为则X是定义在样本空间为Ω={t

4、t≥0}上的函数，其值域为

5、且取值具有随机性.概率论与数理统计一、随机变量X=X(ω)(ω∈Ω)为随机变量,记为r.v.X.(randomvariableX)。定义1设随机试验E的样本空间为Ω={ω},称定义在Ω上单值实值函数随机变量是定义在样本空间Ω上的单

6、值实值函数,且以一定的概率随机地取每个值.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母,,η,ζ,….等表示.概率论与数理统计普通函数的定义域是实数集,而随机变量的定义域是样本空间(样本点不一定为实数);随机变量与普通函数的区别普通函数随自变量的变化所取的函数值无概率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取值范围,但在一次试验前无法确定它取何值.概率论与数理统计用随机变量来描述随机事件一般,对于任意实数集L,随机变量X在L上取值,记

7、为{X∈L},它表示事件{ω

8、X(ω)∈L},即一切使随机变量X取值在L上的样本点所构成的事件,从而在随机试验E的样本空间Ω上定义了一个随机变量后，就可以利用它来表示随机事件。可见，随机事件是包含在随机变量这个更广的概念之中。随机变量的研究是概率论的中心内容。概率论与数理统计例:在试验E:“掷一枚骰子,观察出现的点数”中,如果定义随机变量X=k(ω=“出现k点”,k=1,2,3,4,5,6),则事件“出现偶数点”就可表示为显然,{X∈{1,3,5}}表示“出现奇数点”,{X<1}为不可能事件,{X∈R}为必然事件,等等.{X∈{2,4,

9、6}},事件“出现3点”就可表示为{X=3}.概率论与数理统计总之，随机变量X有如下特点:X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定义域为样本空间Ω,值域为实数集;利用X可以描述随机事件;X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.随机变量离散型非离散型连续型其它概率论与数理统计在实际问题中，有两类重要的随机变量：1、离散型随机变量——取值有限或可列无限实例1观察掷一个骰子出现的点数。随机变量X的可能值是1，2，3，4，5，6；则事件“出现偶数点”就可以表示为{X∈L}={ω

10、X(ω)∈L},其中L={2,4,6}；事件“出现3点”可

11、表示为{X=3}；{X<1}为不肯能事件；{X∈R}为必然事件；实例2若随机变量X记为“连续射击，直至命中时的射击次数”，则X可能值1，2，3，…概率论与数理统计2、连续型随机变量——取值充满一个区间实例1随变量X为“灯泡的寿命“，则X的取值范围为;实例2随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”，X的取值范围为(a,b)的任意值。概率论与数理统计二、分布函数定义2设X为随机变量,x为任意实数,函数称为随机变量X分布函数。分布函数F(x)是随机事件{X≤x}的概率,它是一个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.随机点实数点定义域

12、为全体实数概率论与数理统计问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是r.vX取值不大于x的概率.概率论与数理统计由定义，对任意实数x1

13、列个间断点,且在间断点处是右连续函数。[确定待定参数]注意这些性质在图形上的表现、F(x)是单调不减函数,即当x1