椭圆习题典藏版

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1、【例8】（06.全国一卷.20题）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上，是主动点；点M在未知轨迹上，且随着点P的运动而运动，是被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标转移法解之.此外，过椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用例5的结论.【解析】椭圆的半焦距，离心率.又椭圆的焦点在y轴上，故其方程为：.设

2、点P的坐标为那么过点P的椭圆切线方程为：在方程（2）中，令y=0，得.设点M的坐标为.由OM=OA+OBÞ，代入（1）：.∵，∴所求点M的轨迹方程是：.转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点M（x0，y0），并写出其满足的已知关系式；（2）设P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用x，y的代数式分别表示x0，y0，代入（1）中的关系式化简即得.（5）三角法——与解析法珠联璧合三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的

3、三角形式是：，既将点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.【例9】若P是椭圆上的点，F1和F2是焦点，则的最大值和最小值分别是-5-【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2，b=，∴半焦距c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0），F2（1，0）.设椭圆上一点为，那么.同理；.于是故所求最大值为4，最小值是3.3已知、是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足为坐标原点），，若椭圆的离心率等于（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）若的面积等于，求椭圆的方程；

4、（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得的面积等于？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由知直线AB经过原点，又由因为椭圆离心率等于，故椭圆方程可以写成，设所以，故直线AB的斜率，因此直线AB的方程为（Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知，所以故椭圆方程为（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得假设在椭圆上存在点M使得的面积等于，设点M到直线AB的距离为d，则应有，所以设M所在直线方程为与椭圆方程联立消去x得方程即故在椭圆上不存在点M使得的面积等于-5-6已知直线相交于A、B两点，且（I）求椭圆C

5、的离心率；（II）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆上，求椭圆C的方程.解：（I）设.由.该方程的两根为，由韦达定理，得，（II）设椭圆的右焦点为F（c，0），F关于直线l的对称点为，则故所求椭圆方程为.7已知定点A（－2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P。（1）求动点P的轨迹方程；（2）直线交P点的轨迹于M，N两点，若P点的轨迹上存在点C，使求实数m的值；解：（1）由题意：∵

6、PA

7、=

8、PB

9、且

10、PB

11、+

12、PF

13、=r=8∴

14、PA

15、+

16、PF

17、=8>

18、AF

19、∴P点轨迹为以A、

20、F为焦点的椭圆设方程为（2）设-5-………………………………14分8已知椭圆一个顶点为A（0，1），且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，并且满足，求k的值.解：（Ⅰ）∵双曲线∴椭圆的离心率为。∵椭圆的一个顶点为A（0，1），∴b=1（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y并整理得显然这个方程有两解。设即A（0，1），B将E点的坐标代入到椭圆方程中，并去坟墓可得展开整理得-5-9已知椭圆C的中

21、心在原点，焦点在x轴上，经过点的直线l与向量（－2，）平行且通过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A、B两点，又（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程.（1）直线l过点且与向量（－2，）平行则l方程为：化简为：（2）设直线与椭圆交于A（由将中整理得由韦达定理可知：………………9分由①2/②知32b2=（4b2+5a2）（a2－1）又=1，故可求得因此所求椭圆方程为：-5-