椭圆讲义(学生版)

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1、椭圆讲义1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率准线方程3、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．四、常考类型类型一：椭圆的基本量　　1．指出椭圆的焦点坐标、准线方程和离心率.7举一反三：【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=________　　【变式2】椭

2、圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长=___________.　　【变式3】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是（）。　　A．－4≤m≤4且m≠0　　　B．－4＜m＜4且m≠0　　　C．m＞4或m＜－4　　　D．0＜m＜4　　【变式4】已知椭圆mx2+3y2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m的值。类型二：椭圆的标准方程　　2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：　　（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；　（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经

3、过点。举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。　【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。7　3．求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。举一反三：【变式】已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。　4．求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。　　【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是（）　　A．　　　B．　　　C．　　D．以上都不对【变式2】椭圆过（3，0）点，离心率，求椭圆的标准方程。　　【变式3】长轴长等

4、于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。　【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围　　5．已知椭圆一条准线为，相应焦点为，长轴的一个顶点为原点，求其离心率的取值。　举一反三：【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为()　　A.　　　B.　　　C.　　　D.不确定7【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（　）　　【变式3】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为__________。【变式

5、4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。　6．已知椭圆（），F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。　举一反三：　【变式1】已知椭圆（）与x轴的正半轴交于A，0是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，求椭圆离心率的取值范围。　【变式2】已知椭圆（），以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。类型四：椭圆定义的应用　7．若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m

6、>0），试求P点的轨迹方程。　举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）　　A．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆　　B．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段　　C．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线　D．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段　　【变式2】已知A（0，－1）、B（0，1）两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（）7　　A．　　　　　　B．　　C．　　　　　　D．　　【变式3】已知圆，圆A内一定点B（2，0

7、），圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程。类型五：坐标法的应用　9．△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。举一反三：【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（）　　A．　　　　　B．　　C．　　　　D．（）　　　【变式2】△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（）　　A．　　　　　B．　　C．　　　　　D．　　【变式3】已知A、B两点的

8、坐标分别是（－1，0）、（1，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为m（m＜0），求点M的轨迹方程并判断轨迹形状。五、典型例题例1已知椭圆的一个焦点为（