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1、隐函数的定理及其应用摘要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.关键词：隐函数隐函数组可微性导数引言我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程 ,
2、 ①确定为的函数,即,就称是的隐函数.1.关于隐函数的一些定理1.1隐函数存在惟一性若(1)函数在以为内点的某一区域上连续；(2)(通常称为初始条件)；(3)在内存在连续的偏导数；(4),则在点的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数(隐函数),使得(1),时且；(2)在内连续.需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程在点9不满足条件(4)(),但它仍能确定惟一的连续函数.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在的某
3、一邻域,在此邻域内关于变量是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：在的某邻域内关于严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.如果把定理的条件(3)和(4)改为连续,且,这时结论是存在惟一的连续函数.1.2隐函数的可微性定理设满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在内还存在连续的偏导数,则由方程①所确定的隐函数在其定义域内有连续导函数,且 . ②若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程①应用复合
4、求导法得到隐函数的导数,因为把看作与的复合函数时,有当时,由它即可推得与②相同的结果.对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数存在相应的连续的高阶偏导数.我们可以类似的推出由方程所确定的元隐函数的概念.1.3元隐函数的惟一存在与连续可微性定理若(1)函数在以点为内点的区域上连续；(2)；(3)偏导数在内存在且连续；(4),9则在点的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义在的某邻域内的元连续函数(隐函数),使得(1)当时,,且,.(2)在内有连续偏导数：,而且.例1设方程 ③由于及
5、在平面上任一点都连续,且,,故依上述定理,方程③确定了一个连续可导隐函数,按公式②,其导数为.上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.设和为定义在区域上的两个四元函数.若存在平面区域,对于中每一点分别有区间和上惟一的一对值,它们与一起满足方程组 ④则说方程组④确定了两个定义在上,值域分别落在和内的函数.我们称这两个函数为由方程组④所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为,,则在上成立恒等式,.为了探索由方程组④所确定隐函数组所需要的条
6、件,不妨假设④中的函数和9是可微的,而且由④所确定的两个隐函数与也是可微的.那么通过对方程组④关于分别求偏导数,得到 ⑤ ⑥要想从⑤解出与,从⑥解出与,充分条件是它们的系数行列式不为零,即 ⑦⑦式左边的行列式称为函数和关于变量,的函数行列式(或雅可比Jacobi行列式),亦可记作.条件⑦在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当.1.4隐函数组定理若(1)和在以点为
7、内点的区域内连续； (2),(初始条件)； (3)在内,具有一阶连续偏导数； (4)在点不等于零,则在点的某一(四维空间)邻域内,方程组④惟一确定了定义在点的某一(二维空间)邻域内的两个二元隐函数,,使得(1)且当时,(2)在内连续；(3)在内有一阶连续偏导数,且9,,,.应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为,则方程组④所确定的隐函数组相应是；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.
8、2.隐函数在几何方面的应用2.1平面曲线的切线与法线 设平面曲线由方程①给出,它在点的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在附近所确定的连续可微隐函数或()和方程①在附近表示同一曲线,从而该曲线在点处存在切线和法线,其方程分别为(或)与 (或) 由于(或),所以曲线①在点处的切线和法线方程分别为切线：, ⑧法线：. ⑨例2求笛卡儿叶形线在点处的切线与法线.解设,于是,在全平面连续,且,.
