2013学而思五升六暑假试题及详解

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1、第一讲分数裂项一、裂差＝－＝－二、裂和＝+＝+三、裂项必须满足的条件1、分母可以写成几个因数乘积的形式2、分子可以用分母中的因数表示裂项第一类题目：①++…+②1×2+2×3+…+9×10＝(1×2×3-0×2×3)+(2×3×4-1×2×3)+…+(9×10×11-8×9×10)＝9×10×11--0×2×3＝990③++…++＝++…++＝(-)+(-)+…+(-)+(-)＝-＝1-④1×1！+2×2！+…+10×10！＝(2！-1！)+(3！-2！)+…+(11！-10！)＝11！-1！＝11！-1裂项第二类题目：①++…+②1×2×3+2×3×4+…+8×9×10③++…+④1!×3-

2、2!×4+3!×5-…+9!×11-10!⑤＝＝-各例题仿照这些题目去求解即可。第二讲韩信点兵我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N除以A余a，除以B余b，除以C余c这一类问题的时候，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。第21页/共21页绝招二：加同补。绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。中国剩余定理，知道了，往里套公式即可，但是孩子不容易记住公式，在此不提倡。常采用的方法是：逐级满足法。余数的表示形式：①a÷b＝q…r；②a＝bq+；③a-r＝bq。【第一单元】韩信点兵201、【第5题】摩比去买文具，所有的文具价格都是整数元。他发现自己带的钱只能买a

3、支钢笔，剩下的钱恰好等于一本记事本的价格；若全买记事本可以买b本，剩下的钱恰好等于一块橡皮的价格；若全买橡皮，最多可以买c块，剩下的钱能买一支铅笔。若四者价格成等差数列，而且有a+b+c＝10，那他至少带了多少钱？【难度级别】★★★★☆【解题思路】钢笔单价＝记事本单价+d，记事本单价＝橡皮单价+d，橡皮单价＝铅笔单价+d。假设带的钱为A，则：A可以买a个钢笔+1本记事本，A+d可以买a+1个钢笔；A可以买b本记事本+1块橡皮，A+d可以买b+1本记事本；A可以买c个橡皮+1支铅笔，A+d可以买c+1个橡皮。a＜b＜c，(a+1)+(b+1)+(c+1)＝a+b+c+3＝10+3＝13，但是13

4、＝3+4+6，所以a+1＝3，b+1＝4，c+1＝6，[3,4,6]＝12，钢笔单价：记事本：单价橡皮单价＝::＝4:3:2。求至少，让公差＝1，A+d＝[3,4,6]＝12，A＝12－d＝12－1＝11。【答案】11。【第二单元】逐级满足法202、【第2题】有一正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】体验一下“逐级满足法”。A÷7＝a…1，A-1＝7k，A＝7k+1。A÷8＝b…5，A≡5(mod8)，7k+1≡5(mod8)，最小值k＝4，7k+1＝29，A＝56m+29。A÷9＝c…4，A≡4(mod9)，56m+29≡4(mod

5、9)，2m+2≡4(mod9)，最小值m＝1，A＝56m+29＝85。A的下一个值由A＝504n+85求解，504＝7×8×9。【答案】85。203、【第5题】摩比、大宽、金儿三人带了一样多的钱去买文具，文具的价格都是整数元。摩比只买钢笔，大宽只买记事本，金儿只买自动铅笔。摩比和金儿都发现，如果自己能再多6元就正好能再多买到一支需要的笔；大宽和摩比发现自己剩下的钱一样多，而且三人剩余的钱凑到一起正好买一支自动铅笔。若三种商品价格成等差数列，那么三人至少各带了多少元。【难度级别】★★★★☆【解题思路】此题分析比较难，分析后就是3个除数的余数问题，用逐级满足法求解。求至少，每种文具的单价尽量低，每

6、人剩下的钱尽量少，三人剩下的钱也是尽量少，因三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，所以自动铅笔的单价是最低的。金儿买自动铅笔，金儿剩下的钱加6元可以多买一支，求最少，金儿剩下1元，自动铅笔单价：1+6＝7元。第21页/共21页因为三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，7－1＝6，大宽和摩比剩下的钱一样多，6÷2＝3，各剩下3元，摩比买钢笔，摩比剩下的钱加6元可以多买一支，钢笔单价：3+6＝9元。求最少，公差为1，大宽记事本的单价为8元。摩比买钢笔，钢笔单价为9元，摩比剩下3元；大宽买记事本，记事本单价为8元，大宽剩下3元；金儿买自动铅笔，自动铅笔单价为9元，金儿剩下1元；以上各数据正好满足题目的各个条件；

7、如果不满足，说明假设的金儿剩下1元和公差为1不合适，可以做适当调整，直到满足题目条件为止。设三人至少带的钱为A，则A÷9＝…3，A÷8＝…3，A÷7＝…18×9

8、A－3，A－3＝72k，A＝72k+3。A≡1(mod7)，72k+3≡1(mod7)，72k+3＝7×10k+2k，72k+3≡2k+3≡1(mod7)，2k+2≡0(mod7)，2k≡5(mod7)，最小值k＝6，此时，A＝72k+3