2013学而思五寒假详解.doc

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1、学而思2013年寒假素质123班难题汇总第一讲长方体与正方体11、【补充1】甲乙丙丁在一条直线公路上行驶，(1)甲12点追上丙，(2)甲14点遇到丁，(3)甲16点遇到乙，(4)乙17点遇到丙，(5)乙18点追上丁。问：丙与丁相遇。【难度级别】★★★★★【解题思路】先使用“柳卡图”画图，然后是几何问题。根据给的5个条件，判断出：甲、丙同向，乙、丁同向，甲丙与乙丁反向，画出柳卡图。其中有个三角形，三角形内有一点，转化为几何问题，使用燕尾定理。FP:PC＝1:2，18－14＝4，4×＝，14+＝15，即：15点20分。【答案】15点20分。12、【补充2】n

2、支球队进行单循环比赛，采用“2－1－0”计分方式,第一名为A队。(1)A的得分最多，无并列第一；(2)A比其他所有队胜的场数都少。求n的最小值。【难度级别】★★★★★【解题思路】列一下单循环比赛的相关内容，有n个队，比赛总场数：＝n(n-1)/2，总分：n(n-1)，每个队比赛(n-1)场。可以得到每个队的平均分：n(n-1)÷n＝n-1。因为平均分为n-1，根据第(1)个条件，A最少得分为n，A要赛n-1场，所以A至少胜1场。最末一名最多得(n-2)分【因为要是得n-1分，n-1是平均分，A得n分比平均分高，没有比平均分底的，无法满足平均分了】，根据第

3、(2)个条件，最末一名最少胜2场，胜2场可以得4分，所以：n-2≥4，得到n≥6。n的最小值为6。构造：当n＝6时，平均分为5。第①名：A得6分，1胜4平0负。第⑥名：最末一名，得4分，2胜0平3负。第②、③、④、⑤名都得5分，都是2胜1平2负。这样，A的1胜是胜⑥，A的4平是分别平②、③、④、⑤各1局。此时，②、③、④、⑤、⑥各还有2胜2负，循环胜利就是一种情况，构造如下：②胜③④、③胜④⑤、④胜⑤⑥、⑤胜⑥②、⑥胜②③。【答案】6。第二讲数列与数表――从杨辉三角谈起21、【补充】计算：1+(2+3)+(3+4+5)+(4+5+6+7)+…+(100+

4、101+…+199)【难度级别】★★★★☆【解题思路】先将这个算式写成一个正三角形，左边记为a，是1、2、…、100，右边记为b，是1、3、5、9、…、199，底边记为c，是100、101、…、199。将这个正三角形沿中心顺时针旋转120度（当然也可以逆时针），旋转后，右边是a，底边是b，左边是c。再顺时针旋转120度，旋转后，底边是a，左边是b，右边是c。将3个正三角形相叠加，对应位置的数相加，结果发现所有的和都相同。1+100+199＝300，共有1+2+3+…+100＝5050个数，300×5050÷3＝。【答案】。第三讲比例应用题设份数、列方程、

5、列表、统一不变量。31、【例7】一个周长是56厘米的大长方形，按图(1)与图(2)所示意那样，划分为四个小长方形。在图(1)中小长方形面积的比是A:B＝1:2，B:C＝1:2。而在图(2)中相应的比例是A′:B′＝1:3，B′:C′＝1:3。又知长方形D′的宽减去D的宽所得到的差，与D′的长减去D的长所得到的差之比为1:3。求大长方形的面积。【难度级别】★★★★☆【解题思路】面积比转化为长度的比，统一不变量。在图(1)中，面积比A:B:C＝1:2:4，A与B宽的比为1:2，A与C长的比为1:4。在图(2)中，面积比A′:B′:C′＝1:3:9，A′与B′

6、宽的比为1:3，A′与C′长的比为1:9。图(1)宽3份，图(2)宽4份，统一不变量，宽统一成12份，图(1)A与B宽的比为4:8，图(2)A′与B′宽的比为3:9。D′的宽减去D的宽所得到的差为9－8＝1份。图(1)长5份，图(2)长10份，统一不变量，统一成10份，图(1)A与C长的比为2:8，图(2)A′与C′长的比为1:9。D′的长减去D的长所得到的差为9－8＝1份。2个差都是1份，却是1:3，统一不变量，长统一成30份，图(1)A与C长的比2:8＝6:24，图(2)A′与C′长的比为1:9＝3:27。统一不变量之后，宽统一成12份，长统一成30

7、份。周长：(12+30)×2＝84份，每份长：56÷84＝厘米。宽：12×＝8厘米，长：30×＝20厘米，大正方形的面积＝20×8＝160平方厘米。【答案】160平方厘米。32、【例8】A、B、C三项工程的工作量之比为1：2：3，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量。则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【难度级别】★★★★★【解题思路】设A工程的工作量为1份、B工程的工作量为2份、C工程的工作量为3份，设甲完成的工作

8、量为x，则完成未完成总量甲x1-x1乙2(1-x)2x2丙3-6(1-x)6(1