数列知识点、例题、练习

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1、桂林市卓远文化艺术培训学校专用资料数列专题知识清单及例题练习一、等差数列1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。若数列｛an｝为等差数列，则有an-an-1=d(其中n≥2，n∈N*).例题：数列｛an｝满足，（）求证：｛an｝为等差数列。练习：数列｛an｝满足，（）求证：｛an｝为等差数列。2.等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b

2、的等差中项，满足2A=a+b。例题：是2与8的等差中项，求是多少？练习：等差数列｛an｝中，前三项依次为，则为多少？3.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差.当d>0时，数列｛an｝为递增数列；当d<0时，数列｛an｝为递减数列；当d=0时，数列｛an｝为常数列.例题：等差数列中，已知，求数列的通项公式。练习：等差数列中，已知，求数列的通项公式。4.等差数列的前n项和公式：；。例题：等差数列中，已知，求数列的前n项和。练习：等差数列中，已知，求数列的前n项和。练习：等差数

3、列中，已知，求数列的前10项和5.等差数列的性质：（1）等差数列｛an｝中，an-am=(n-m)d；14例题：等差数列中，已知，求数列的公差。练习：等差数列中，已知，求数列的公差d。（2）等差数列｛an｝中，若m+n=p+q(其中m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq；若m+n=2p，则am+an=2ap，也称ap为am，an的等差中项.例题：等差数列中，已知，求的值。练习：等差数列中，已知是方程的两根，求的值。二、等比数列1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项

4、的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）.若数列｛an｝为等比数列，则有(n≥2,n∈N*,q≠0).例题：数列｛an｝满足，（）求证：｛an｝为等比数列。练习：数列｛an｝满足每项为正数且，（）求证：｛an｝为等比数列。2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.满足。例题8：是2与8的等比中项，求是多少？练习：等比数列，若，求。3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1,公比为q，

5、则其通项公式为an=a1qn-1.例题9：等比数列中，已知，求数列的通项公式。练习：等比数列，若，求。4.等比数列的性质：若等比数列的首项为a1,公比为q，则有：（1）an=amqn-m；（2）m+n=s+t(其中m,n,s,t∈N*)，则aman=asat；若m+n=2k，则ak2=anam.例题：等比数列中，已知，求的值和公比q。练习：等比数列中，已知是方程的两根，求的值。145.等比数列的前n项和公式：若等比数列的首项为a1,公比为q，则其前n项和.例题：等比数列中，已知，求数列的前n项和。练习：等

6、比数列中，已知，求数列的前n项和。三、求通项方法归纳：1、求差（商）法，例：数列，，求解时，，∴①时，②①—②得：，∴，∴练习：数列满足，求解：注意到，代入得；又，∴是等比数列，时，2、叠乘法：例题：数列中，，求解，∴又，∴.练习：数列满足，且，求。3、等差型递推公式：由，求，用迭加法时，两边相加得∴例4：数列中，，求。14练习：数列中，，求4、等比型递推公式：（为常数，）可转化为等比数列，设令，∴，∴是首项为为公比的等比数列∴，∴例题：数列中，，求。练习：数列中，，求。5、倒数法：例：，求由已知得：，∴

7、∴为等差数列，，公差为，∴，∴练习：数列中，，求。6、公式法：利用等差数列或等比数列的通项公式或使用与的关系求通项。例题：，求。练习：数列，，求。（附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法）四、求和方法归纳：141.公式法:①=(等差数列);②(等比数列)习题12：（1）已知等差数列{}中,求{}前n项和.（2）已知等比数列{}中,求{}前n项和.2.倒序相加法:把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.相加例题13：已知，则由∴原式3.错

8、位相减法:若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.例题：①②①—②时，，时，练习：若为等差数列，为等比数列，，求数列前项和。144.裂项相消法:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.例题15：是公差为的等差数列，求解：由∴练习:求和：5.分组求和:对于既非等差有非等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差、等比或常数列,然后求和.例题：的前项和。解：练习：