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1、高二文科数学基础辅导材料（十六）坐标系与参数方程学习目标：1.坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.2.参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.知识梳理一、坐标系1.极坐标系的概念在平面上取一个定点0叫做极点；自点0引一条射线&叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向为正方向
2、），这样就建立了一个极坐标系（如图）.设M是平面上的任一点，极点0与点M的距离叫做点M的极径，记为〃；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的ZxOM叫做点M的极角，记为&有序数对9,&）称为点M的极坐标，记作M（p,硏.2.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，兀轴正半轴作为极轴，且在两坐标系屮収相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分別为（兀，刃和S，〃），则＜r2—2I2p_兀十y,tanO='gO).X3.的极坐标方程若圆心为M(“()，0()),半径为r的圆方程为尸一2“(0cos(&—&())+/)$
3、—,=0.儿个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为广：p=r；(2)当圆心位于M(a,0),半径为a：p=2acosff；JT(3)当圆心位于M(a,—),半径为a：p=2asd.24.直线的极坐标方程若直线过点M(〃o，&0)，且极轴到此直线的角为a,则它的方程为：psin(^—«)=posin(30—a).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0=。()和0=71—弘；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：pcos0=ajr⑶直线过M(b,—)且平行于极轴：psin0=b.二、参数方程1•直线的参数方程若直线
4、过(Xoz/oU为直线的倾斜角,则直线的参数方程为+为参数)•这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义.1•圆的参数方程若圆心在点M°（3o）,半径为凡则圆的参数方程为籍85・2•椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点呗如相应的椭圆参数方程为gZ曽:鶯籍0弘2几【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧1.参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式（三角的或代数的）消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2.普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较
5、明显且关系相对简单;当参数取某一值吋,可以唯一确定x,y的值•一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题，常取时间作为参数.此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标（纵坐标）作为参数.二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为：第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步'根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.另外,当直线经过点P（xo,yoL且直线的倾斜角为耳求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方
6、程设成£匚；；；囂;（t为参数），交点A,B对应的参数分别为r血计算时‘把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出血得到
7、^l=
8、trt2
9、=（ti+t2）2-4trt2.考点一平面直角坐标系中的伸缩变换x,=^x(2>0)设点P(兀，刃是平面直角坐标系中的任意一点，在变换件仁，八、的作用下，点P(x,)，)对y=/.i-y(//>0)应到点(/Lr,“y),称0为坐标系中的伸缩变换.例1将圆x2+y2=l±每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线/：2x+y~2=0与C的交点为P],P2,
10、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段PiP2的中点且与/垂直的直线的极坐标方程.变式拓展1.2求双曲线C：着=1经过卩:xf=3x,2)"=y变换后所得曲线C的焦点坐标.考点二极坐标和直角坐标的互化1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x=pcos&尸psim%P2=x2+y2,ytan&=;(xhO)・A2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意p,疗的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.H例2设点A的极坐标为兀,直线/过点人且与极轴
11、所成的角为亍，则直线/的极坐标方程为(2,-)6变式拓展2.在极坐标系中，点(2,-］到直线p(cos&+Visin&)=6的距离为3
